与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(0)$ を求めよ。 (2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないことを証明せよ。 (3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明せよ。 関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{3} + x^2 \cos{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f'(0)$ を求めよ。

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないことを証明せよ。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明せよ。

関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x}{3} + x^2 \cos{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\

0, & x = 0

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $f'(0)$ を求める。

$f'(0)$ は定義より、以下の式で計算できます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}$

$f(0) = 0$ なので、

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3} + h^2 \cos{\frac{1}{h}}}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{1}{3} + h \cos{\frac{1}{h}})$

ここで、$-|h| \leq h \cos{\frac{1}{h}} \leq |h|$ であり、$\lim_{h \to 0} |h| = 0$ なので、$\lim_{h \to 0} h \cos{\frac{1}{h}} = 0$ となります。

したがって、$f'(0) = \frac{1}{3}$

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではないことを証明する。

まず、$x \neq 0$ における $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{3} + x^2 \cos{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{3} + 2x \cos{\frac{1}{x}} + x^2 (-\sin{\frac{1}{x}}) (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{3} + 2x \cos{\frac{1}{x}} + \sin{\frac{1}{x}}$

$f'(x) = \begin{cases}

\frac{1}{3} + 2x \cos{\frac{1}{x}} + \sin{\frac{1}{x}}, & x \neq 0 \\

\frac{1}{3}, & x = 0

\end{cases}$

$f'(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = \frac{1}{3}$ となる必要があります。

しかし、$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} + 2x \cos{\frac{1}{x}} + \sin{\frac{1}{x}})$ において、$\lim_{x \to 0} 2x \cos{\frac{1}{x}} = 0$ ですが、$\lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}$ は存在しません。したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しないため、$f'(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではないことを証明する。

$f(x)$ が $(0, \delta)$ で単調増加であるためには、$x \in (0, \delta)$ に対して $f'(x) \geq 0$ である必要があります。

$f'(x) = \frac{1}{3} + 2x \cos{\frac{1}{x}} + \sin{\frac{1}{x}}$ でしたので、これが常に非負であるか検討します。

$x_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}$ とすると、

$\sin(\frac{1}{x_n}) = \sin(2n\pi - \frac{\pi}{2}) = -1$.

$f'(x_n) = \frac{1}{3} + \frac{2}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}\cos(2n\pi - \frac{\pi}{2}) - 1 = \frac{1}{3} + 0 - 1 = -\frac{2}{3}$.

したがって、$f'(x_n) < 0$ となります。

任意の $\delta > 0$ に対して、$n$ を十分大きく取れば、$x_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}} < \delta$ となるので、$(0, \delta)$ 内に $f'(x) < 0$ となる $x$ が存在します。したがって、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f'(0) = \frac{1}{3}$

(2) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。

(3) 任意の $\delta > 0$ に対して、$f(x)$ は $(0, \delta)$ で単調増加ではない。