関数 $f(x) = |x|^3 \sin x$ が与えられています。この関数が $x=0$ で $n$ 回微分可能であるが、$n+1$ 回微分不可能となるような0以上の整数 $n$ を求め、証明も加える必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|^3 \sin x$ が与えられています。この関数が $x=0$ で $n$ 回微分可能であるが、$n+1$ 回微分不可能となるような0以上の整数 $n$ を求め、証明も加える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x>0$ のとき、$|x|=x$ なので、$f(x) = x^3 \sin x$ です。

同様に、$x<0$ のとき、$|x|=-x$ なので、$f(x) = (-x)^3 \sin x = -x^3 \sin x$ です。

そこで、関数を以下のように書き換えます。

$ f(x) = \begin{cases}

x^3 \sin x & x \geq 0 \\

-x^3 \sin x & x < 0

\end{cases} $

$f(x)$ の微分可能性を調べるために、導関数を計算します。

まず、$x>0$ での微分は、

$f'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

$x<0$ での微分は、

$f'(x) = -3x^2 \sin x - x^3 \cos x$

従って、

$f'(x) = \begin{cases}

3x^2 \sin x + x^3 \cos x & x \geq 0 \\

-3x^2 \sin x - x^3 \cos x & x < 0

\end{cases} $

これは $f'(x) = |x|^2(3 \sin x + |x|\cos x)$ とも書けます。

$x=0$ での微分可能性を調べます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^3 \sin h}{h}$

$h>0$ のとき、$\lim_{h \to +0} \frac{h^3 \sin h}{h} = \lim_{h \to +0} h^2 \sin h = 0$

$h<0$ のとき、$\lim_{h \to -0} \frac{-h^3 \sin h}{h} = \lim_{h \to -0} -h^2 \sin h = 0$

従って、$f'(0) = 0$ であり、$f'(x)$ は $x=0$ で定義できます。

$f''(x)$ を計算します。$x \neq 0$ において、

$f''(x) = \begin{cases}

6x \sin x + 6x^2 \cos x - x^3 \sin x & x > 0 \\

-6x \sin x - 6x^2 \cos x + x^3 \sin x & x < 0

\end{cases} $

$x=0$ での微分可能性を調べます。

$f''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h) - f'(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^2(3 \sin h + |h|\cos h)}{h}$

$h>0$ のとき、$\lim_{h \to +0} \frac{h^2(3 \sin h + h \cos h)}{h} = \lim_{h \to +0} h(3 \sin h + h \cos h) = 0$

$h<0$ のとき、$\lim_{h \to -0} \frac{h^2(3 \sin h - h \cos h)}{h} = \lim_{h \to -0} h(3 \sin h - h \cos h) = 0$

従って、$f''(0) = 0$ であり、$f''(x)$ は $x=0$ で定義できます。

$f'''(x)$ を計算します。$x \neq 0$ において、

$f'''(x) = \begin{cases}

6 \sin x + 18x \cos x - 9x^2 \sin x - x^3 \cos x & x > 0 \\

-6 \sin x - 18x \cos x + 9x^2 \sin x + x^3 \cos x & x < 0

\end{cases} $

$x=0$ での微分可能性を調べます。

$f'''(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f''(h) - f''(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\begin{cases}

6h \sin h + 6h^2 \cos h - h^3 \sin h & h > 0 \\

-6h \sin h - 6h^2 \cos h + h^3 \sin h & h < 0

\end{cases}}{h} $

$h>0$ のとき、$\lim_{h \to +0} (6 \sin h + 6h \cos h - h^2 \sin h) = 0$

$h<0$ のとき、$\lim_{h \to -0} (-6 \sin h - 6h \cos h + h^2 \sin h) = 0$

従って、$f'''(0) = 0$ であり、$f'''(x)$ は $x=0$ で定義できます。

$f^{(4)}(x)$ を計算します。$x \neq 0$ において、

$f^{(4)}(x) = \begin{cases}

24 \cos x - 36x \sin x - 12x^2 \cos x + x^3 \sin x & x > 0 \\

-24 \cos x + 36x \sin x + 12x^2 \cos x - x^3 \sin x & x < 0

\end{cases} $

$x=0$ での微分可能性を調べます。

$f^{(4)}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'''(h) - f'''(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\begin{cases}

6 \sin h + 18h \cos h - 9h^2 \sin h - h^3 \cos h & h > 0 \\

-6 \sin h - 18h \cos h + 9h^2 \sin h + h^3 \cos h & h < 0

\end{cases}}{h} $

$h>0$ のとき、$\lim_{h \to +0} (6 \frac{\sin h}{h} + 18 \cos h - 9h \sin h - h^2 \cos h) = 6+18=24$

$h<0$ のとき、$\lim_{h \to -0} (-6 \frac{\sin h}{h} - 18 \cos h + 9h \sin h + h^2 \cos h) = -6-18=-24$

従って、$f^{(4)}(0)$ は存在しません。

したがって、$n=3$

3. 最終的な答え

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