3次関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ について、以下の問いに答える。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求め、極大値、極小値を求める。 (2) $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $f(x)$ の極大値と一致する時の $a$ の範囲を求める。 (3) 方程式 $f(x) = k$ が異なる正の解を2つ持つときの定数 $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ について、以下の問いに答える。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求め、極大値、極小値を求める。

(2) $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $f(x)$ の極大値と一致する時の $a$ の範囲を求める。

(3) 方程式 $f(x) = k$ が異なる正の解を2つ持つときの定数 $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x-1)(x-5)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 5$

増減表を書くと、

$x = 1$ のとき極大値 $f(1) = 1 - 9 + 15 - 2 = 5$

$x = 5$ のとき極小値 $f(5) = 125 - 225 + 75 - 2 = -27$

したがって、$x=1$ のとき極大値5, $x=5$ のとき極小値-27。

(2) $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $f(x)$ の極大値5と一致するとき、$x=1$ が区間内に含まれ、$x=5$ が区間外にあることが必要。

$0 \le 1 \le a$ より $a \ge 1$

また、$a \le 5$ である必要がある。なぜなら、$a > 5$ だと、$0 \le x \le a$における最大値は、5ではない可能性があるからである。

よって、$1 \le a \le 5$

(3) $f(x) = k$ が異なる正の解を2つ持つためには、$y=f(x)$のグラフと$y=k$のグラフが2点で交わればよい。

$x=1$ のとき極大値 5, $x=5$ のとき極小値 -27

$f(0) = -2$ より、$x>0$で2つの解を持つためには、極小値より大きく、極大値以下である必要がある。

$-2 < x < 1$と$1 < x < 5$でそれぞれ異なる解を持つ場合、もしくは$x=5$で解を持ち、$-2 < x < 1$と$1 < x < 5$のいずれかで解を持つ場合を考える。

グラフから判断すると、$k=5$のとき、$x=1$で重解を持ち、$x<0$で異なる解を持つ。

$-27<k<5$のとき、3つの異なる実数解を持ち、2つは正の解となる。

$k = -2$のとき、$x=0$を解に持つので正の解は2つにならない。

したがって、$-2 < k < 5$

よって、$f(x)=k$ が異なる正の解を2つ持つとき、$-27<k < 5$のときに2つの正の解を持つ。

$f(x) = k$ の異なる正の解が2個であるとき、$k=0$ である。

$f(x) = 0$ は、$x>0$ で2個の解を持つ。

$f(x)=k$が異なる正の解を2つ持つとき、$-27<k < 5$のときに2つの正の解を持つ。

$k=0$ のとき、$x^3-9x^2+15x-2=0$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

極大値: 5 (x=1のとき)

極小値: -27 (x=5のとき)

(2) $1 \le a \le 5$

(3) $-2 < k \le 5$