3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $f(x)$ の極大値と極小値、およびそれらをとる $x$ の値を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線の方程式 $y=g(x)$ を求める。 また、曲線 $y=f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 $A$ 以外の点の座標を求める。 さらに、直線 $l$ と平行で、曲線 $y=f(x)$ と接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 関数 $f(x)$ の極大値と極小値、およびそれらをとる $x$ の値を求める。

(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線の方程式 $y=g(x)$ を求める。

また、曲線 $y=f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 $A$ 以外の点の座標を求める。

さらに、直線 $l$ と平行で、曲線 $y=f(x)$ と接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

$(3x+5)(x-1) = 0$

$x = -\frac{5}{3}, 1$

$f'(x)$ の符号の変化を調べると、

$x = -\frac{5}{3}$ で極大値をとる。$f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 4 = \frac{-125 + 75 + 225 - 108}{27} = \frac{67}{27}$

$x = 1$ で極小値をとる。$f(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) - 4 = 1 + 1 - 5 - 4 = -7$

(2) 点 $A(-2, f(-2))$ における接線を求める。

$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 4 + 10 - 4 = 2$

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$ より、

$f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$

接線の方程式は $y - 2 = 3(x + 2)$ より、

$y = 3x + 6 + 2 = 3x + 8$

よって、$g(x) = 3x + 8$

$y = f(x)$ と $y = 3x + 8$ の共有点を求める。

$x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + 8$

$x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

$x = -2$ が解であるから、$(x + 2)$ で割り切れる。

$(x+2)(x^2 - x - 6) = 0$

$(x+2)(x+2)(x-3) = 0$

$x = -2, 3$

点 $A$ 以外の共有点の $x$ 座標は $3$。

$y = 3(3) + 8 = 9 + 8 = 17$

よって、点 $A$ 以外の共有点の座標は $(3, 17)$

直線 $l: y = 3x + 8$ と平行な接線を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = 3$

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

$(3x - 4)(x + 2) = 0$

$x = \frac{4}{3}, -2$

$x = -2$ は点 $A$ なので、$x = \frac{4}{3}$ を考える。

$f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 5(\frac{4}{3}) - 4 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{20}{3} - 4 = \frac{64 + 48 - 180 - 108}{27} = -\frac{176}{27}$

接線の方程式は $y + \frac{176}{27} = 3(x - \frac{4}{3})$

$y = 3x - 4 - \frac{176}{27} = 3x - \frac{108 + 176}{27} = 3x - \frac{284}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f(x)$ は $x = -\frac{5}{3}$ のとき極大値 $\frac{67}{27}$ をとり、$x = 1$ のとき極小値 $-7$ をとる。

(2) $g(x) = 3x + 8$ であり、点 $A$ 以外の点の座標は $(3, 17)$ である。また、求める直線の方程式は $y = 3x - \frac{284}{27}$ である。