与えられた三角関数の逆関数を含む式の値を計算します。具体的には、次の4つの問題を解きます。 (1) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{6})$ (4) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{2})$ (7) $\cos(\cos^{-1} \frac{\pi}{6})$ (10) $\sin(\cos^{-1} \frac{1}{4})$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の逆関数を含む式の値を計算します。具体的には、次の4つの問題を解きます。

(1) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{6})$

(4) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{2})$

(7) $\cos(\cos^{-1} \frac{\pi}{6})$

(10) $\sin(\cos^{-1} \frac{1}{4})$

2. 解き方の手順

(1) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{6})$

まず、$\sin \frac{\pi}{6}$ の値を計算します。$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ です。

次に、$\cos^{-1} (\frac{1}{2})$ を計算します。$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です（ただし、$0 \le \theta \le \pi$）。

したがって、$\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$ です。

(4) $\cos(\sin^{-1} \frac{1}{2})$

まず、$\sin^{-1} (\frac{1}{2})$ の値を計算します。$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ です（ただし、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$）。

次に、$\cos (\frac{\pi}{6})$ を計算します。$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

したがって、$\cos(\sin^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

(7) $\cos(\cos^{-1} \frac{\pi}{6})$

$\cos(\cos^{-1} x) = x$ が成り立つのは $-1 \le x \le 1$ のときです。

ここで $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} < 1$ なので、$\cos(\cos^{-1} \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$ が成り立ちます。

(10) $\sin(\cos^{-1} \frac{1}{4})$

$\theta = \cos^{-1} \frac{1}{4}$ とおくと、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ です。ここで、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ です。

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ となります。

したがって、$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ です。

ここで、$\cos^{-1} \frac{1}{4}$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ であり、この範囲で $\sin \theta \ge 0$ なので、$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ となります。

したがって、$\sin(\cos^{-1} \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{15}}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(7) $\frac{\pi}{6}$

(10) $\frac{\sqrt{15}}{4}$