$xy$ 平面において、媒介変数 $t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) を用いて表される曲線 $C$ が、次のように定義されています。 $ \begin{cases} x = e^{-t} \cos t \\ y = e^{-t} \sin t \end{cases} $ このとき、以下の問いに答える必要があります。 (1) 曲線 $C$ の概形を描け。 (2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における $C$ の接線と直線 $OP$ のなす角は一定であることを示せ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、媒介変数 $t$ ($0 \leq t \leq 2\pi$) を用いて表される曲線 $C$ が、次のように定義されています。

$$

\begin{cases}

x = e^{-t} \cos t \\

y = e^{-t} \sin t

\end{cases}

$$

このとき、以下の問いに答える必要があります。

(1) 曲線 $C$ の概形を描け。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における $C$ の接線と直線 $OP$ のなす角は一定であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ の概形を描くためには、まず $t$ の値をいくつか代入して、対応する $(x, y)$ の値を計算し、座標平面上にプロットします。例えば、$t = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ などです。そして、これらの点を滑らかに結ぶことで、曲線の概形を描くことができます。$t$ が増加するにつれて、$e^{-t}$ が減少していくことに注意すると、原点に近づいていく渦巻きのような曲線になることが予想できます。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における接線の傾きを求めます。これは、$\frac{dy}{dx}$ を計算することで得られます。媒介変数表示されているので、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$$

\frac{dx}{dt} = -e^{-t} \cos t - e^{-t} \sin t = -e^{-t} (\cos t + \sin t)

$$

$$

\frac{dy}{dt} = -e^{-t} \sin t + e^{-t} \cos t = e^{-t} (\cos t - \sin t)

$$

したがって、

$$

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-t} (\cos t - \sin t)}{-e^{-t} (\cos t + \sin t)} = -\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}

$$

次に、点 $P$ の座標を $(x_0, y_0)$ とします。このとき、$x_0 = e^{-t} \cos t$、$y_0 = e^{-t} \sin t$ です。直線 $OP$ の傾きは、$\frac{y_0}{x_0} = \frac{e^{-t} \sin t}{e^{-t} \cos t} = \tan t$ となります。

$C$の接線と直線$OP$のなす角を$\theta$とすると、$\tan \theta$は

$$

\tan \theta = \left| \frac{\tan t - (-\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t})}{1 + \tan t (-\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t})} \right| = \left| \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}}{1 - \frac{\sin t}{\cos t} \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}} \right| = \left| \frac{\sin t(\cos t + \sin t) + \cos t(\cos t - \sin t)}{\cos t(\cos t + \sin t) - \sin t(\cos t - \sin t)} \right| = \left| \frac{\sin t \cos t + \sin^2 t + \cos^2 t - \sin t \cos t}{\cos^2 t + \sin t \cos t - \sin t \cos t + \sin^2 t} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1

$$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ となり、これは $t$ に依存しない定数です。

3. 最終的な答え

(1) 曲線 $C$ の概形は、原点に近づいていく渦巻きのような曲線。

(2) 曲線 $C$ 上の点 $P$ における $C$ の接線と直線 $OP$ のなす角は $\frac{\pi}{4}$ であり、一定である。