3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線の方程式を $y=g(x)$ とするとき、$g(x)$ を求め、曲線 $y=f(x)$ と直線 $l$ の共有点で、点 $A$ 以外の点の座標を求める。また、直線 $l$ と平行な接線のうち、$l$ 以外の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) 曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線の方程式を $y=g(x)$ とするとき、$g(x)$ を求め、曲線 $y=f(x)$ と直線 $l$ の共有点で、点 $A$ 以外の点の座標を求める。また、直線 $l$ と平行な接線のうち、$l$ 以外の接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

$(3x + 5)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{5}{3}, 1$

$x = -\frac{5}{3}$ のとき、$f'(x)$ の符号は正から負に変わるので極大値をとる。

$x = 1$ のとき、$f'(x)$ の符号は負から正に変わるので極小値をとる。

$f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 4 = \frac{-125 + 75 + 225 - 108}{27} = \frac{67}{27}$

$f(1) = 1 + 1 - 5 - 4 = -7$

(2) 点 $A(-2, f(-2))$ における接線の方程式を求める。

$f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 4 + 10 - 4 = 2$

点 $A$ は $(-2, 2)$

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

$f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$

接線の方程式は $y - 2 = 3(x - (-2))$

$y = 3x + 6 + 2 = 3x + 8$

$g(x) = 3x + 8$

$y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点を求める。

$x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + 8$

$x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

$(x+2)^2(x-3) = 0$

$x = -2, 3$

点A以外の点の座標は $x=3$ のとき。

$f(3) = 3^3 + 3^2 - 5(3) - 4 = 27 + 9 - 15 - 4 = 17$

よって座標は $(3, 17)$

$l$ と平行な接線のうち、 $l$ 以外の接線を求める。

傾きが3の接線を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = 3$

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

$(3x - 4)(x + 2) = 0$

$x = \frac{4}{3}, -2$

$x = -2$ は点Aなので除外する。

$x = \frac{4}{3}$ のとき

$f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 5(\frac{4}{3}) - 4 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{20}{3} - 4 = \frac{64 + 48 - 180 - 108}{27} = \frac{-176}{27}$

$y - (-\frac{176}{27}) = 3(x - \frac{4}{3})$

$y = 3x - 4 - \frac{176}{27} = 3x - \frac{108 + 176}{27} = 3x - \frac{284}{27}$

3. 最終的な答え

アイ：-5

ウ：3

エオ：67

カキ：27

ク：1

ケコ：-7

サ：3

シ：8

ス：3

セソ：17

タ：3

チッテ：284

トナ：27