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3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $f(x)$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $A(-2, f(-2))$ における接線 $y = g(x)$ の方程式を求め、$y = f(x)$ と接線 $l$ の共有点のうち、点 $A$ 以外の点の座標を求める。さらに、直線 $l$ と平行な接線で、$l$ 以外のものを求める。

解析学3次関数微分極値接線共有点
2025/6/5

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x3+x2−5x−4f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4 について、以下の問いに答える問題です。
(1) 関数 f(x)f(x) の極大値と極小値、およびそれらを与える xx の値を求める。
(2) 曲線 y=f(x)y = f(x) 上の点 A(−2,f(−2))A(-2, f(-2)) における接線 y=g(x)y = g(x) の方程式を求め、y=f(x)y = f(x) と接線 ll の共有点のうち、点 AA 以外の点の座標を求める。さらに、直線 ll と平行な接線で、ll 以外のものを求める。

2. 解き方の手順

(1)
まず、f(x)f(x) を微分します。
f′(x)=3x2+2x−5f'(x) = 3x^2 + 2x - 5
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
3x2+2x−5=03x^2 + 2x - 5 = 0
(3x+5)(x−1)=0(3x + 5)(x - 1) = 0
x=−53,1x = -\frac{5}{3}, 1
f′(x)f'(x) の符号の変化を調べます。
x<−53x < -\frac{5}{3} のとき、f′(x)>0f'(x) > 0
−53<x<1-\frac{5}{3} < x < 1 のとき、f′(x)<0f'(x) < 0
x>1x > 1 のとき、f′(x)>0f'(x) > 0
したがって、x=−53x = -\frac{5}{3} で極大、x=1x = 1 で極小となります。
f(−53)=(−53)3+(−53)2−5(−53)−4=−12527+259+253−4=−125+75+225−10827=6727f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 4 = \frac{-125 + 75 + 225 - 108}{27} = \frac{67}{27}
f(1)=13+12−5(1)−4=1+1−5−4=−7f(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) - 4 = 1 + 1 - 5 - 4 = -7
(2)
点 A(−2,f(−2))A(-2, f(-2)) における接線を求めます。
f(−2)=(−2)3+(−2)2−5(−2)−4=−8+4+10−4=2f(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 4 + 10 - 4 = 2
f′(−2)=3(−2)2+2(−2)−5=12−4−5=3f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3
接線の方程式は、y−2=3(x+2)y - 2 = 3(x + 2) より、
y=3x+6+2=3x+8y = 3x + 6 + 2 = 3x + 8
g(x)=3x+8g(x) = 3x + 8
y=f(x)y = f(x) と y=3x+8y = 3x + 8 の共有点を求めます。
x3+x2−5x−4=3x+8x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + 8
x3+x2−8x−12=0x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0
(x+2)2(x−3)=0(x + 2)^2(x - 3) = 0
x=−2,3x = -2, 3
x=−2x = -2 は点Aなので、x=3x = 3 のときの yy 座標を求めます。
y=3(3)+8=9+8=17y = 3(3) + 8 = 9 + 8 = 17
したがって、点A以外の共有点は (3,17)(3, 17) です。
次に、直線 ll と平行な接線で、ll 以外のものを求めます。
f′(x)=3f'(x) = 3 となる xx を求めます。
3x2+2x−5=33x^2 + 2x - 5 = 3
3x2+2x−8=03x^2 + 2x - 8 = 0
(3x−4)(x+2)=0(3x - 4)(x + 2) = 0
x=43,−2x = \frac{4}{3}, -2
x=−2x = -2 は点Aなので、x=43x = \frac{4}{3} のときの接線を求めます。
f(43)=(43)3+(43)2−5(43)−4=6427+169−203−4=64+48−180−10827=−17627f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 5(\frac{4}{3}) - 4 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{20}{3} - 4 = \frac{64 + 48 - 180 - 108}{27} = -\frac{176}{27}
接線の方程式は、y+17627=3(x−43)y + \frac{176}{27} = 3(x - \frac{4}{3}) より、
y=3x−4−17627=3x−108+17627=3x−28427y = 3x - 4 - \frac{176}{27} = 3x - \frac{108 + 176}{27} = 3x - \frac{284}{27}

3. 最終的な答え

(1)
極大値: 6727\frac{67}{27} (x=−53x = -\frac{5}{3} のとき)
極小値: −7-7 (x=1x = 1 のとき)
(2)
g(x)=3x+8g(x) = 3x + 8
点A以外の共有点: (3,17)(3, 17)
直線 ll と平行な接線: y=3x−28427y = 3x - \frac{284}{27}

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