与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}} dx$

です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$2+x-x^2 = 2 - (x^2 - x) = 2 - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2 - (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2$

よって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - (x-\frac{1}{2})^2}} dx$

となります。ここで、$x-\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \frac{3}{2} \cos \theta d\theta$ となります。

積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{4} \sin^2 \theta}} \frac{3}{2} \cos \theta d\theta = \int \frac{1}{\frac{3}{2} \cos \theta} \frac{3}{2} \cos \theta d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

となります。

ここで、$\sin \theta = \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2x-1}{3}$ より、$\theta = \arcsin(\frac{2x-1}{3})$ です。

したがって、積分結果は

$\arcsin(\frac{2x-1}{3}) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{2x-1}{3}) + C$