$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行い、$I$と$J$に関する連立方程式を立てて解きます。

まず、$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ を部分積分します。

$u = \sin bx$, $dv = e^{ax} dx$ とすると、

$du = b \cos bx \, dx$, $v = \frac{1}{a} e^{ax}$ となるので、

$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \int \frac{1}{a} e^{ax} b \cos bx \, dx$

$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx \, dx$

$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$

次に、$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ を部分積分します。

$u = \cos bx$, $dv = e^{ax} dx$ とすると、

$du = -b \sin bx \, dx$, $v = \frac{1}{a} e^{ax}$ となるので、

$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx - \int \frac{1}{a} e^{ax} (-b \sin bx) \, dx$

$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \, dx$

$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$

$I$と$J$に関する以下の連立方程式が得られました。

$I = \frac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$

$J = \frac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$

これを解きます。

最初の式から $aI = e^{ax} \sin bx - bJ$

次の式から $aJ = e^{ax} \cos bx + bI$

これらから $J$ を消去します。最初の式を $b$ 倍、次の式を $a$ 倍して足すと

$abI + a^2J = b e^{ax} \sin bx - b^2J$

$a^2J = a e^{ax} \cos bx + abI$

$a^2J + b^2J = a e^{ax} \cos bx + b e^{ax} \sin bx$

$J(a^2 + b^2) = e^{ax} (a \cos bx + b \sin bx)$

$J = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + C_1$

$I = \frac{aJ - e^{ax} \cos bx}{b}$

$I = \frac{a}{b} \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) - \frac{e^{ax} \cos bx}{b} + C_2$

$I = \frac{e^{ax}}{b(a^2 + b^2)} (a^2 \cos bx + ab \sin bx - (a^2+b^2) \cos bx) + C_2$

$I = \frac{e^{ax}}{b(a^2 + b^2)} (ab \sin bx - b^2 \cos bx) + C_2$

$I = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + C_2$

3. 最終的な答え

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + C_2$

$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + C_1$