関数 $x^x$ ($x > 0$)を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $x^x$ ($x > 0$)を微分してください。

2. 解き方の手順

$y = x^x$と置きます。両辺の自然対数をとると、

$$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$$

両辺を$x$で微分します。左辺は合成関数の微分より、

$$\frac{d}{dx} \ln y = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$$

右辺は積の微分より、

$$\frac{d}{dx} (x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

したがって、

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

$$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$$

$y = x^x$を代入すると、

$$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} x^x = x^x (\ln x + 1)$