与えられた関数のマクローリン展開を求める問題です。 関数は、$f(x) = \log(\frac{e}{1+x})$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた関数のマクローリン展開を求める問題です。

関数は、$f(x) = \log(\frac{e}{1+x})$ で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って関数を変形します。

$f(x) = \log(\frac{e}{1+x}) = \log(e) - \log(1+x) = 1 - \log(1+x)$

次に、$\log(1+x)$のマクローリン展開を求めます。

$\log(1+x)$のマクローリン展開は、以下のようになります。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

したがって、$f(x)$のマクローリン展開は、

$f(x) = 1 - \log(1+x) = 1 - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots)$

$f(x) = 1 - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^n}{n}$

$f(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \cdots$

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \cdots = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^n}{n}$