与えられた微分方程式 $y' + \frac{1}{x}y = \sin x$ の一般解を積分因子を用いて求め、初期条件 $y(\pi) = 1$ を満たす特殊解を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式

$y' + \frac{1}{x}y = \sin x$

の一般解を積分因子を用いて求め、初期条件 $y(\pi) = 1$ を満たす特殊解を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1) 積分因子を求める。

与えられた微分方程式は、1階線形微分方程式の形をしています。積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

となります。

(2) 微分方程式の両辺に積分因子をかける。

$x y' + y = x \sin x$

(3) 左辺を整理する。

$(x y)' = x \sin x$

(4) 両辺を積分する。

$\int (x y)' dx = \int x \sin x dx$

$x y = \int x \sin x dx$

(5) $\int x \sin x dx$ を計算する。

部分積分を行う。$u=x, dv=\sin x dx$ とすると、$du=dx, v=-\cos x$ であるから、

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

したがって、

$x y = -x \cos x + \sin x + C$

(6) 一般解を求める。

$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

(7) 初期条件 $y(\pi) = 1$ を用いて、$C$ を求める。

$1 = -\cos \pi + \frac{\sin \pi}{\pi} + \frac{C}{\pi}$

$1 = -(-1) + 0 + \frac{C}{\pi}$

$1 = 1 + \frac{C}{\pi}$

$\frac{C}{\pi} = 0$

$C = 0$

(8) 特殊解を求める。

$y = -\cos x + \frac{\sin x}{x}$

3. 最終的な答え

一般解: $y = -\cos x + \frac{\sin x}{x} + \frac{C}{x}$

特殊解: $y = -\cos x + \frac{\sin x}{x}$