関数 $x^{-3}$ の導関数が $-3x^{-4}$ であることを、導関数の定義を使って説明することを求められています。

1. 問題の内容

関数 $x^{-3}$ の導関数が $-3x^{-4}$ であることを、導関数の定義を使って説明することを求められています。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、関数 $f(x)$ に対して、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

で与えられます。 今回、$f(x) = x^{-3}$ なので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-3} - x^{-3}}{h}$

を計算します。 $(x+h)^{-3} = \frac{1}{(x+h)^3}$ と $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$ を用いると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^3} - \frac{1}{x^3}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 - (x+h)^3}{h x^3 (x+h)^3}$

ここで、$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ であるから、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 - (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3)}{h x^3 (x+h)^3}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-3x^2h - 3xh^2 - h^3}{h x^3 (x+h)^3}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{h(-3x^2 - 3xh - h^2)}{h x^3 (x+h)^3}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-3x^2 - 3xh - h^2}{x^3 (x+h)^3}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \frac{-3x^2}{x^3 \cdot x^3} = \frac{-3x^2}{x^6} = -3x^{-4}$

3. 最終的な答え

したがって、$x^{-3}$ の導関数は $-3x^{-4}$ であることが示されました。

最終的な答え: $-3x^{-4}$