与えられた関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $3x+4$ の導関数は、 $3$ です。

(2) $x^2 + 5x + 7$ の導関数は、 $2x + 5$ です。

(3) $(x^2 - x + 4)(x^2 + x + 1)$ の導関数を求めるには、積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x^2 - x + 4$, $v = x^2 + x + 1$ とすると、

$u' = 2x - 1$, $v' = 2x + 1$ です。

$(x^2 - x + 4)(x^2 + x + 1) = x^4 + 6x^2 - 3x + 4$

$(x^4 + 6x^2 - 3x + 4)' = 4x^3 + 12x - 3$

$u'v + uv' = (2x-1)(x^2+x+1) + (x^2-x+4)(2x+1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1 + 2x^3 - 2x^2 + 8x + x^2 - x + 4 = 4x^3 + 12x + 3$

(4) $2 + x^{-1} + x^{-2}$ の導関数は、$-x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$ です。

(5) $\frac{x-1}{x+1}$ の導関数を求めるには、商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = x-1$, $v = x+1$ とすると、 $u' = 1$, $v' = 1$ です。

$(\frac{x-1}{x+1})' = \frac{1(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x - 1}$ の導関数を求めるには、商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = x^2 + x + 1$, $v = x^2 - x - 1$ とすると、 $u' = 2x + 1$, $v' = 2x - 1$ です。

$(\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x - 1})' = \frac{(2x+1)(x^2-x-1) - (x^2+x+1)(2x-1)}{(x^2-x-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x^2 - 2x + x^2 - x - 1 - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2-x-1)^2} = \frac{2x^3 - x^2 - 3x - 1 - 2x^3 - x^2 - x + 1}{(x^2-x-1)^2} = \frac{-2x^2 - 4x}{(x^2-x-1)^2} = \frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$

(7) $\frac{x^2 + 5}{x^3 + x^2 + 3}$ の導関数を求めるには、商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = x^2 + 5$, $v = x^3 + x^2 + 3$ とすると、$u' = 2x$, $v' = 3x^2 + 2x$ です。

$(\frac{x^2 + 5}{x^3 + x^2 + 3})' = \frac{2x(x^3 + x^2 + 3) - (x^2+5)(3x^2+2x)}{(x^3+x^2+3)^2} = \frac{2x^4 + 2x^3 + 6x - (3x^4 + 2x^3 + 15x^2 + 10x)}{(x^3+x^2+3)^2} = \frac{2x^4 + 2x^3 + 6x - 3x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 10x}{(x^3+x^2+3)^2} = \frac{-x^4 - 15x^2 - 4x}{(x^3+x^2+3)^2} = \frac{-x(x^3+15x+4)}{(x^3+x^2+3)^2}$

(8) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x(x+1)}{x^2+1}$ の導関数を求めるには、商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = x^2+x$, $v = x^2+1$ とすると、$u' = 2x+1$, $v' = 2x$ です。

$(\frac{x(x+1)}{x^2+1})' = \frac{(2x+1)(x^2+1) - (x^2+x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+2x+x^2+1 - (2x^3+2x^2)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+x^2+2x+1 - 2x^3-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $2x + 5$

(3) $4x^3 + 12x - 3$

(4) $-\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(5) $\frac{2}{(x+1)^2}$

(6) $\frac{-2x(x+2)}{(x^2-x-1)^2}$

(7) $\frac{-x(x^3+15x+4)}{(x^3+x^2+3)^2}$

(8) $\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$