曲線 $y = x^3 - 4x$ の接線で、点 $(1, -3)$ を通るものをすべて求める。

## (8)の問題

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x$ の接線で、点 $(1, -3)$ を通るものをすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の点 $(t, t^3 - 4t)$ における接線を求める。

$y = x^3 - 4x$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4$

よって、点 $(t, t^3 - 4t)$ における接線の傾きは $3t^2 - 4$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 4t) = (3t^2 - 4)(x - t)$

$y = (3t^2 - 4)x - 3t^3 + 4t + t^3 - 4t$

$y = (3t^2 - 4)x - 2t^3$

この接線が点 $(1, -3)$ を通るので、

$-3 = (3t^2 - 4)(1) - 2t^3$

$-3 = 3t^2 - 4 - 2t^3$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t-1)(2t^2-t-1)=0$

$(t-1)(t-1)(2t+1)=0$

$(t-1)^2(2t+1)=0$

$t = 1, -\frac{1}{2}$

(i) $t = 1$ のとき、接点は $(1, -3)$ であり、傾きは $3(1)^2 - 4 = -1$ である。

接線の方程式は $y = -x - 2(1)^3 = -x - 2$ であり、$y = -x-2$

(ii) $t = -\frac{1}{2}$ のとき、接点は $(-\frac{1}{2}, \frac{7}{8})$ であり、傾きは $3(-\frac{1}{2})^2 - 4 = \frac{3}{4} - 4 = -\frac{13}{4}$ である。

接線の方程式は

$y = (-\frac{13}{4})x - 2(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{13}{4}x + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$y = -x - 2$

$y = -\frac{13}{4}x + \frac{1}{4}$

## (9)の問題

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - x^3$ の接線で、点 $(2, 6)$ を通るものをすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線上の点 $(t, 2t^2 - t^3)$ における接線を求める。

$y = 2x^2 - x^3$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x - 3x^2$

よって、点 $(t, 2t^2 - t^3)$ における接線の傾きは $4t - 3t^2$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (2t^2 - t^3) = (4t - 3t^2)(x - t)$

$y = (4t - 3t^2)x - 4t^2 + 3t^3 + 2t^2 - t^3$

$y = (4t - 3t^2)x + 2t^3 - 2t^2$

この接線が点 $(2, 6)$ を通るので、

$6 = (4t - 3t^2)(2) + 2t^3 - 2t^2$

$6 = 8t - 6t^2 + 2t^3 - 2t^2$

$2t^3 - 8t^2 + 8t - 6 = 0$

$t^3 - 4t^2 + 4t - 3 = 0$

$(t - 3)(t^2 - t + 1) = 0$

$t = 3$

$t^2 - t + 1 = 0$ は実数解を持たない。

$t = 3$ のとき、接点は $(3, -9)$ であり、傾きは $4(3) - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15$ である。

接線の方程式は $y = -15x + 2(3)^3 - 2(3)^2 = -15x + 54 - 18 = -15x + 36$

3. 最終的な答え

$y = -15x + 36$