広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$u = x^2$ と変数変換します。すると、$du = 2xdx$ となります。したがって、$xdx = \frac{1}{2}du$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $u = 0^2 = 0$ であり、$x \to \infty$ のとき $u = x^2 \to \infty$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du$

次に、$\int e^{-u} du = -e^{-u}$ であることを利用して、積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} [\lim_{u \to \infty} (-e^{-u}) - (-e^{-0})]$

$\lim_{u \to \infty} e^{-u} = 0$ なので、

$\frac{1}{2} [0 - (-1)] = \frac{1}{2} [1] = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$