次の不定積分を計算する問題です。 $\int \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。

$\int \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、部分分数分解を用いることで解くことができます。

まず、被積分関数を次のように部分分数に分解します。

$\frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}$

両辺に $(ax+b)(cx+d)$ を掛けると、

$px+q = A(cx+d) + B(ax+b)$

$px+q = (Ac+Ba)x + (Ad+Bb)$

係数比較により、次の連立方程式を得ます。

$Ac + Ba = p$

$Ad + Bb = q$

この連立方程式を $A$ と $B$ について解きます。

最初の式から $A = (p - Ba)/c$ を得て、これを第二の式に代入すると、

$\frac{(p-Ba)d}{c} + Bb = q$

$(p-Ba)d + Bbc = qc$

$pd - Bad + Bbc = qc$

$B(bc-ad) = qc-pd$

したがって、$ad \ne bc$のとき

$B = \frac{qc-pd}{bc-ad}$

同様に、$A = \frac{ap-bq}{ad-bc}$が得られます。

$A$と$B$が求まったので、積分を計算します。

$\int \frac{px+q}{(ax+b)(cx+d)} dx = \int \frac{A}{ax+b} dx + \int \frac{B}{cx+d} dx$

$= \frac{A}{a} \int \frac{a}{ax+b} dx + \frac{B}{c} \int \frac{c}{cx+d} dx$

$= \frac{A}{a} \ln|ax+b| + \frac{B}{c} \ln|cx+d| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{A}{a} \ln|ax+b| + \frac{B}{c} \ln|cx+d| + C$

ここで、

$A = \frac{ap-bq}{ad-bc}$

$B = \frac{qc-pd}{bc-ad}$

であり、$C$は積分定数です。