与えられた関数 $y = (\cos x)^{\sin x}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (\cos x)^{\sin x}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとる。

$$\ln y = \ln((\cos x)^{\sin x})$$

対数の性質より、

$$\ln y = \sin x \ln(\cos x)$$

次に、両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分、右辺は積の微分を用いる。

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\cos x) \ln(\cos x) + \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x)$$

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln(\cos x) - \frac{\sin^2 x}{\cos x}$$

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、両辺に $y$ をかける。

$$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \ln(\cos x) - \frac{\sin^2 x}{\cos x} \right)$$

最後に、$y = (\cos x)^{\sin x}$ を代入する。

$$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\sin x} \left( \cos x \ln(\cos x) - \frac{\sin^2 x}{\cos x} \right)$$

共通因数$\cos x$でくくると、

$$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\sin x} \left( \frac{\cos^2 x \ln(\cos x) - \sin^2 x}{\cos x} \right)$$

$$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\sin x-1} (\cos^2 x \ln(\cos x) - \sin^2 x)$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\sin x} \left( \cos x \ln(\cos x) - \frac{\sin^2 x}{\cos x} \right)$

または

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)^{\sin x-1} (\cos^2 x \ln(\cos x) - \sin^2 x)$