与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x)^{\frac{1}{x}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x)^{\frac{1}{x}}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$$(2^x + 3^x)^{\frac{1}{x}} = (3^x((\frac{2}{3})^x + 1))^{\frac{1}{x}}$$

$$= (3^x)^{\frac{1}{x}} ((\frac{2}{3})^x + 1)^{\frac{1}{x}} = 3((\frac{2}{3})^x + 1)^{\frac{1}{x}}$$

ここで、$x \to \infty$ のとき $(\frac{2}{3})^x \to 0$ であることに注意します。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} (\frac{2}{3})^x = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} ((\frac{2}{3})^x + 1) = 1$$

また、$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$ です。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} ((\frac{2}{3})^x + 1)^{\frac{1}{x}} = 1^0 = 1$$

よって、

$$\lim_{x \to \infty} (2^x + 3^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} 3((\frac{2}{3})^x + 1)^{\frac{1}{x}} = 3 \cdot 1 = 3$$

3. 最終的な答え

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