関数 $f(x) = [\cos x]$ で定義されない $x$ の値、不連続である $x$ の値を求め、またそれらの $x$ の値で、関数の値を改めて定義し、全実数 $x$ で連続になるようにせよ。ただし、$[x]$ はガウス記号を表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [\cos x]$ で定義されない $x$ の値、不連続である $x$ の値を求め、またそれらの $x$ の値で、関数の値を改めて定義し、全実数 $x$ で連続になるようにせよ。ただし、$[x]$ はガウス記号を表す。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = [\cos x]$ が定義されない $x$ の値を考える。

ガウス記号は任意の数に対して定義されるので、$\cos x$ の値に関わらず、$f(x)$ は常に定義される。

次に、$f(x)$ が不連続になる $x$ の値を考える。

$f(x)$ は $\cos x$ が整数になる点で不連続になる可能性がある。

$\cos x$ の値域は $[-1, 1]$ であるので、$\cos x$ が取りうる整数値は $-1, 0, 1$ である。

$\cos x = 1$ のとき、$x = 2n\pi$ ($n$ は整数)。このとき、$\cos x = 1$ なので、$f(x) = [1] = 1$。

$x$ が $2n\pi$ に近づくとき、$f(x)$ も 1 に近づくので、$f(x)$ は連続である。

$\cos x = 0$ のとき、$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ ($n$ は整数)。

このとき、$\cos x$ は 0 に近づく。

$x \to (2n+1)\frac{\pi}{2} + 0$ のとき、$\cos x \to -0$ なので、$f(x) = [\cos x] = [-0] = -1$。

$x \to (2n+1)\frac{\pi}{2} - 0$ のとき、$\cos x \to +0$ なので、$f(x) = [\cos x] = [+0] = 0$。

したがって、$f(x)$ は $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ で不連続。

$\cos x = -1$ のとき、$x = (2n+1)\pi$ ($n$ は整数)。

このとき、$\cos x = -1$ なので、$f(x) = [-1] = -1$。

$x$ が $(2n+1)\pi$ に近づくとき、$f(x)$ も -1 に近づくので、$f(x)$ は連続である。

$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ で $f(x)$ が連続になるように定義し直すには、

$f((2n+1)\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to (2n+1)\frac{\pi}{2}} f(x)$ とすればよい。

しかし、この極限は存在しないので、連続になるように定義し直すことはできない。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = [\cos x]$ は常に定義される。

$f(x)$ が不連続になる $x$ の値は、$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ ($n$ は整数) である。

$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ で連続になるように $f(x)$ を定義し直すことはできない。