* 問題1: 関数 $\phi(x, y, z) = 3x^2y - y^3z^2$ の点 $(1, -2, -1)$ における勾配 $\nabla \phi$ を求める。 * 問題2: 次の各 $\phi(\mathbf{r})$ に対し、$\nabla \phi(\mathbf{r})$ を求める。ただし、$\mathbf{r} = x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。 * (1) $\phi(\mathbf{r}) = \log r$ * (2) $\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{r^2}$ * 問題3: 曲面 $x^2y + 2xz = 4$ と点 $(2, -2, 3)$ で直交する単位法線ベクトルを求める。 * 問題4: 曲面 $2xz^2 - 3xy - 4x = 7$ と点 $(1, -1, 2)$ で接する接平面の方程式を求める。

はい、承知いたしました。画像にある問題について、順に解いていきます。

1. 問題の内容

* 問題1: 関数 $\phi(x, y, z) = 3x^2y - y^3z^2$ の点 $(1, -2, -1)$ における勾配 $\nabla \phi$ を求める。

* 問題2: 次の各 $\phi(\mathbf{r})$ に対し、$\nabla \phi(\mathbf{r})$ を求める。ただし、$\mathbf{r} = x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。

* (1) $\phi(\mathbf{r}) = \log r$

* (2) $\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{r^2}$

* 問題3: 曲面 $x^2y + 2xz = 4$ と点 $(2, -2, 3)$ で直交する単位法線ベクトルを求める。

* 問題4: 曲面 $2xz^2 - 3xy - 4x = 7$ と点 $(1, -1, 2)$ で接する接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1: 勾配 $\nabla \phi$ は、各変数での偏微分を成分とするベクトルである。

$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

各偏微分を計算する。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 6xy$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2z^2$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = -2y^3z$

点 $(1, -2, -1)$ における値を代入する。

$\frac{\partial \phi}{\partial x}(1, -2, -1) = 6(1)(-2) = -12$

$\frac{\partial \phi}{\partial y}(1, -2, -1) = 3(1)^2 - 3(-2)^2(-1)^2 = 3 - 12 = -9$

$\frac{\partial \phi}{\partial z}(1, -2, -1) = -2(-2)^3(-1) = -16$

したがって、$\nabla \phi(1, -2, -1) = (-12, -9, -16)$.

* 問題2:

* (1) $\phi(\mathbf{r}) = \log r$の場合：

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であるから、$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$, $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$, $\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r^2}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r^2}$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r^2}$

$\nabla \phi = \left( \frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2}, \frac{z}{r^2} \right) = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$

* (2) $\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{r^2}$の場合：

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{2}{r^3} \frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{2x}{r^4}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{2}{r^3} \frac{\partial r}{\partial y} = -\frac{2y}{r^4}$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = -\frac{2}{r^3} \frac{\partial r}{\partial z} = -\frac{2z}{r^4}$

$\nabla \phi = \left( -\frac{2x}{r^4}, -\frac{2y}{r^4}, -\frac{2z}{r^4} \right) = -\frac{2\mathbf{r}}{r^4}$

* 問題3: 曲面 $f(x, y, z) = x^2y + 2xz - 4 = 0$ の法線ベクトルは、勾配 $\nabla f$ で与えられる。

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 2z$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 2x$

点 $(2, -2, 3)$ における値を代入する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(2, -2, 3) = 2(2)(-2) + 2(3) = -8 + 6 = -2$

$\frac{\partial f}{\partial y}(2, -2, 3) = (2)^2 = 4$

$\frac{\partial f}{\partial z}(2, -2, 3) = 2(2) = 4$

$\nabla f(2, -2, 3) = (-2, 4, 4)$

単位法線ベクトルは、$\mathbf{n} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ で与えられる。

$|\nabla f| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

$\mathbf{n} = \left( -\frac{2}{6}, \frac{4}{6}, \frac{4}{6} \right) = \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$

または、符号を反転させた $\left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right)$ も解である。

* 問題4: 曲面 $f(x, y, z) = 2xz^2 - 3xy - 4x - 7 = 0$ の法線ベクトルは、勾配 $\nabla f$ で与えられる。

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2z^2 - 3y - 4$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -3x$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 4xz$

点 $(1, -1, 2)$ における値を代入する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, -1, 2) = 2(2)^2 - 3(-1) - 4 = 8 + 3 - 4 = 7$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, -1, 2) = -3(1) = -3$

$\frac{\partial f}{\partial z}(1, -1, 2) = 4(1)(2) = 8$

$\nabla f(1, -1, 2) = (7, -3, 8)$

接平面の方程式は、$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = 0$ で与えられる。

$(7, -3, 8) \cdot (x - 1, y + 1, z - 2) = 0$

$7(x - 1) - 3(y + 1) + 8(z - 2) = 0$

$7x - 7 - 3y - 3 + 8z - 16 = 0$

$7x - 3y + 8z = 26$

3. 最終的な答え

* 問題1: $\nabla \phi(1, -2, -1) = (-12, -9, -16)$

* 問題2:

* (1) $\nabla \phi = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$

* (2) $\nabla \phi = -\frac{2\mathbf{r}}{r^4}$

* 問題3: $\left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$ または $\left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right)$

* 問題4: $7x - 3y + 8z = 26$