数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の極限を求めます。 (1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ (2) $a_n = (\frac{n+3}{n+1})^n$ (3) $a_n = (\frac{1-n}{3-n})^n$

1. 問題の内容

数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の極限を求める問題です。具体的には、以下の3つの数列の極限を求めます。

(1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

(2) $a_n = (\frac{n+3}{n+1})^n$

(3) $a_n = (\frac{1-n}{3-n})^n$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ の場合：

これはネイピア数 $e$ の定義に関連する極限です。

一般に $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ が成り立ちます。

今回の場合は $x = -1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2) $a_n = (\frac{n+3}{n+1})^n$ の場合：

$a_n = (\frac{n+3}{n+1})^n = (\frac{(n+1)+2}{n+1})^n = (1 + \frac{2}{n+1})^n$

ここで、$m = n+1$ とおくと、$n = m-1$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n+1})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^{m-1} = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^m (1 + \frac{2}{m})^{-1}$

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^m = e^2$ であり、$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^{-1} = 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+1})^n = e^2 \cdot 1 = e^2$

(3) $a_n = (\frac{1-n}{3-n})^n$ の場合：

$a_n = (\frac{1-n}{3-n})^n = (\frac{n-1}{n-3})^n = (\frac{(n-3) + 2}{n-3})^n = (1 + \frac{2}{n-3})^n$

ここで、$m = n-3$ とおくと、$n = m+3$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n-3})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^{m+3} = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^m (1 + \frac{2}{m})^3$

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^m = e^2$ であり、$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{m})^3 = 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1-n}{3-n})^n = e^2 \cdot 1 = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+1})^n = e^2$

(3) $\lim_{n \to \infty} (\frac{1-n}{3-n})^n = e^2$