$\int \log_e(5+x) \, dx$ を計算する問題です。部分積分を用いて解きます。$f = \log_e(5+x)$、$g' = 1$ と指定されています。

1. 問題の内容

$\int \log_e(5+x) \, dx$ を計算する問題です。部分積分を用いて解きます。$f = \log_e(5+x)$、$g' = 1$ と指定されています。

2. 解き方の手順

部分積分法を用います。部分積分法の公式は、

$\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$

です。

まず、$f(x)$ と $g'(x)$ を定義します。問題文で$f(x) = \log_e(5+x)$、$g'(x) = 1$と与えられているので、

$f(x) = \log_e(5+x)$

$g'(x) = 1$

次に、$f'(x)$ と $g(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{5+x}$

$g(x) = \int g'(x) \, dx = \int 1 \, dx = x$

これらの結果を部分積分の公式に代入すると、

$\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - \int x \cdot \frac{1}{5+x} \, dx$

$\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - \int \frac{x}{5+x} \, dx$

次に、$\int \frac{x}{5+x} \, dx$ を計算します。被積分関数を次のように変形します。

$\frac{x}{5+x} = \frac{x+5-5}{5+x} = \frac{5+x}{5+x} - \frac{5}{5+x} = 1 - \frac{5}{5+x}$

したがって、

$\int \frac{x}{5+x} \, dx = \int \left(1 - \frac{5}{5+x}\right) \, dx = \int 1 \, dx - \int \frac{5}{5+x} \, dx = x - 5 \int \frac{1}{5+x} \, dx$

$\int \frac{1}{5+x} \, dx = \log_e(5+x) + C$より、

$\int \frac{x}{5+x} \, dx = x - 5\log_e(5+x) + C$

よって、

$\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - (x - 5\log_e(5+x)) + C$

$\int \log_e(5+x) \, dx = x \log_e(5+x) - x + 5\log_e(5+x) + C$

$\int \log_e(5+x) \, dx = (x+5) \log_e(5+x) - x + C$

3. 最終的な答え

$(x+5)\log_e(5+x) - x + C$