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問題(5)は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x - x\cos x}$ を求める問題です。 問題(6)は、極限 $\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ を求める問題です。

解析学極限ロピタルの定理微分不定形
2025/6/6

1. 問題の内容

問題(5)は、極限 lim⁡x→0x−sin⁡−1xx−xcos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x - x\cos x} を求める問題です。
問題(6)は、極限 lim⁡x→∞x1/x\lim_{x \to \infty} x^{1/x} を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題(5)
ロピタルの定理を適用します。
まず、分子と分母が x→0x \to 0 でともに0に近づくことを確認します。
x=0x=0を代入すると、分子は0−sin⁡−1(0)=0−0=00 - \sin^{-1}(0) = 0-0=0、分母は0−0cos⁡(0)=0−0=00 - 0\cos(0) = 0-0=0となります。
ロピタルの定理を適用するため、分子と分母をそれぞれ微分します。
分子の微分:
ddx(x−sin⁡−1x)=1−11−x2\frac{d}{dx}(x - \sin^{-1}x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
分母の微分:
ddx(x−xcos⁡x)=1−(cos⁡x−xsin⁡x)=1−cos⁡x+xsin⁡x\frac{d}{dx}(x - x\cos x) = 1 - (\cos x - x\sin x) = 1 - \cos x + x\sin x
したがって、
lim⁡x→0x−sin⁡−1xx−xcos⁡x=lim⁡x→01−11−x21−cos⁡x+xsin⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin^{-1}x}{x - x\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1 - \cos x + x\sin x}
x=0x=0を代入すると、分子は1−1=01-1=0、分母は1−1+0=01-1+0=0となり、再び0/0の不定形になるので、再度ロピタルの定理を適用します。
分子の微分:
ddx(1−(1−x2)−1/2)=−12(1−x2)−3/2(−2x)=x(1−x2)3/2\frac{d}{dx}(1 - (1-x^2)^{-1/2}) = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}
分母の微分:
ddx(1−cos⁡x+xsin⁡x)=sin⁡x+sin⁡x+xcos⁡x=2sin⁡x+xcos⁡x\frac{d}{dx}(1 - \cos x + x\sin x) = \sin x + \sin x + x\cos x = 2\sin x + x\cos x
したがって、
lim⁡x→01−11−x21−cos⁡x+xsin⁡x=lim⁡x→0x(1−x2)3/22sin⁡x+xcos⁡x=lim⁡x→0x(1−x2)3/2(2sin⁡x+xcos⁡x)\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1 - \cos x + x\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}}{2\sin x + x\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}(2\sin x + x\cos x)}
再びx=0x=0を代入すると0/00/0となるため、再度ロピタルの定理を適用します。
分子の微分：ddxx=1\frac{d}{dx} x = 1
分母の微分：ddx(1−x2)−3/2(2sin⁡x+xcos⁡x)\frac{d}{dx} (1-x^2)^{-3/2} (2 \sin x + x \cos x)
=3x(1−x2)5/2(2sin⁡x+xcos⁡x)+(1−x2)−3/2(2cos⁡x+cos⁡x−xsin⁡x)= \frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}} (2 \sin x + x \cos x) + (1-x^2)^{-3/2} (2 \cos x + \cos x - x \sin x)
=3x(1−x2)5/2(2sin⁡x+xcos⁡x)+(1−x2)−3/2(3cos⁡x−xsin⁡x)= \frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}} (2 \sin x + x \cos x) + (1-x^2)^{-3/2} (3 \cos x - x \sin x)
lim⁡x→013x(1−x2)5/2(2sin⁡x+xcos⁡x)+(1−x2)−3/2(3cos⁡x−xsin⁡x)=10+1(3−0)=13\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3x}{(1-x^2)^{5/2}} (2 \sin x + x \cos x) + (1-x^2)^{-3/2} (3 \cos x - x \sin x)} = \frac{1}{0 + 1(3-0)} = \frac{1}{3}
問題(6)
y=x1/xy = x^{1/x}とおきます。
両辺の自然対数をとると、
ln⁡y=ln⁡(x1/x)=1xln⁡x=ln⁡xx\ln y = \ln(x^{1/x}) = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}
lim⁡x→∞ln⁡y=lim⁡x→∞ln⁡xx\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}
これは ∞∞\frac{\infty}{\infty} の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。
lim⁡x→∞ln⁡xx=lim⁡x→∞1x1=lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0
したがって、
lim⁡x→∞ln⁡y=0\lim_{x \to \infty} \ln y = 0
lim⁡x→∞y=e0=1\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1

3. 最終的な答え

問題(5)の答え: 13\frac{1}{3}
問題(6)の答え: 1

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