ライプニッツの公式を用いて、与えられた関数の高次導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された階数の導関数を計算します。 (1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)''$ (2階導関数) (2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)}$ (3階導関数) (3) $((x^2 + 2x) \sin x)^{(3)}$ (3階導関数) (4) $\sin x^{(4)}$ (4階導関数)

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、与えられた関数の高次導関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの関数について、指定された階数の導関数を計算します。

(1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)''$ (2階導関数)

(2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)}$ (3階導関数)

(3) $((x^2 + 2x) \sin x)^{(3)}$ (3階導関数)

(4) $\sin x^{(4)}$ (4階導関数)

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式とは、$n$階微分を計算するための公式で、次のように表されます。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$は二項係数であり、$u^{(m)}$は関数$u$の$m$階導関数を表します。

(1) $f(x) = (x^2 + 3x - 1)e^x$ の2階導関数を求める。

$u = x^2 + 3x - 1$, $v = e^x$とすると、

$u' = 2x + 3$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = e^x$, $v'' = e^x$, $v^{(k)} = e^x$ for all $k$

$(uv)'' = {}_2 C_0 u'' v + {}_2 C_1 u' v' + {}_2 C_2 u v'' = u'' v + 2 u' v' + u v''$

$= 2 e^x + 2 (2x + 3) e^x + (x^2 + 3x - 1) e^x = (x^2 + 7x + 7)e^x$

(2) $f(x) = (x^2 + 3x - 1)e^x$ の3階導関数を求める。

$u = x^2 + 3x - 1$, $v = e^x$とすると、

$u' = 2x + 3$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = e^x$, $v'' = e^x$, $v^{(k)} = e^x$ for all $k$

$(uv)^{(3)} = {}_3 C_0 u^{(3)} v + {}_3 C_1 u'' v' + {}_3 C_2 u' v'' + {}_3 C_3 u v^{(3)} = u^{(3)} v + 3 u'' v' + 3 u' v'' + u v^{(3)}$

$= 0 + 3(2)e^x + 3(2x+3)e^x + (x^2+3x-1)e^x = (x^2+9x+14)e^x$

(3) $f(x) = (x^2 + 2x) \sin x$ の3階導関数を求める。

$u = x^2 + 2x$, $v = \sin x$とすると、

$u' = 2x + 2$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \geq 3$

$v' = \cos x$, $v'' = -\sin x$, $v^{(3)} = -\cos x$

$(uv)^{(3)} = {}_3 C_0 u^{(3)} v + {}_3 C_1 u'' v' + {}_3 C_2 u' v'' + {}_3 C_3 u v^{(3)} = u^{(3)} v + 3 u'' v' + 3 u' v'' + u v^{(3)}$

$= 0 + 3(2) \cos x + 3(2x+2)(-\sin x) + (x^2+2x)(-\cos x)$

$= 6 \cos x - 6x \sin x - 6 \sin x - x^2 \cos x - 2x \cos x = (6-x^2-2x)\cos x - (6x+6)\sin x$

(4) $f(x) = \sin x$ の4階導関数を求める。

$\sin^{(1)}(x) = \cos x$

$\sin^{(2)}(x) = -\sin x$

$\sin^{(3)}(x) = -\cos x$

$\sin^{(4)}(x) = \sin x$

3. 最終的な答え

(1) $((x^2 + 3x - 1)e^x)'' = (x^2 + 7x + 7)e^x$

(2) $((x^2 + 3x - 1)e^x)^{(3)} = (x^2 + 9x + 14)e^x$

(3) $((x^2 + 2x) \sin x)^{(3)} = (6-x^2-2x)\cos x - (6x+6)\sin x$

(4) $\sin x^{(4)} = \sin x$