関数 $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^2$ の停留点を求める問題です。偏微分を計算し、それらが同時に0になる点を求め、問題文の条件 ⑦ < ⑨ < ⑪ を満たすように停留点のx座標を並べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^2$ の停留点を求める問題です。偏微分を計算し、それらが同時に0になる点を求め、問題文の条件 ⑦ < ⑨ < ⑪ を満たすように停留点のx座標を並べます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ を $x$ で偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$

次に、$f(x, y)$ を $y$ で偏微分します。

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

停留点では、$f_x(x, y) = 0$ かつ $f_y(x, y) = 0$ となります。

$f_y(x, y) = 2y = 0$ より、$y = 0$

$f_x(x, y) = 4x(x^2 - 1) = 0$ より、$x = 0$ または $x^2 = 1$ なので、$x = 0, 1, -1$

したがって、停留点は $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$ です。

⑦ < ⑨ < ⑪ という条件から、停留点のx座標を小さい順に並べると、-1, 0, 1 となります。

3. 最終的な答え

停留点は $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$ です。

⑦ = -1

⑧ = 0

⑨ = 0

⑩ = 0

⑪ = 1

⑫ = 0