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関数 $(x^2+2)\sin(x)$ の4階微分を求める問題です。

解析学微分高階微分積の微分
2025/6/6

1. 問題の内容

関数 (x2+2)sin⁡(x)(x^2+2)\sin(x) の4階微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則を繰り返し利用して微分を計算します。
まず、積の微分法則を思い出します。
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
1階微分：
((x2+2)sin⁡(x))′=(x2+2)′sin⁡(x)+(x2+2)(sin⁡(x))′((x^2+2)\sin(x))' = (x^2+2)'\sin(x) + (x^2+2)(\sin(x))'
=2xsin⁡(x)+(x2+2)cos⁡(x)= 2x\sin(x) + (x^2+2)\cos(x)
2階微分：
(2xsin⁡(x)+(x2+2)cos⁡(x))′=(2xsin⁡(x))′+((x2+2)cos⁡(x))′(2x\sin(x) + (x^2+2)\cos(x))' = (2x\sin(x))' + ((x^2+2)\cos(x))'
=(2sin⁡(x)+2xcos⁡(x))+(2xcos⁡(x)+(x2+2)(−sin⁡(x)))= (2\sin(x) + 2x\cos(x)) + (2x\cos(x) + (x^2+2)(-\sin(x)))
=2sin⁡(x)+2xcos⁡(x)+2xcos⁡(x)−(x2+2)sin⁡(x)= 2\sin(x) + 2x\cos(x) + 2x\cos(x) - (x^2+2)\sin(x)
=2sin⁡(x)+4xcos⁡(x)−x2sin⁡(x)−2sin⁡(x)= 2\sin(x) + 4x\cos(x) - x^2\sin(x) - 2\sin(x)
=4xcos⁡(x)−x2sin⁡(x)= 4x\cos(x) - x^2\sin(x)
3階微分：
(4xcos⁡(x)−x2sin⁡(x))′=(4xcos⁡(x))′−(x2sin⁡(x))′(4x\cos(x) - x^2\sin(x))' = (4x\cos(x))' - (x^2\sin(x))'
=(4cos⁡(x)+4x(−sin⁡(x)))−(2xsin⁡(x)+x2cos⁡(x))= (4\cos(x) + 4x(-\sin(x))) - (2x\sin(x) + x^2\cos(x))
=4cos⁡(x)−4xsin⁡(x)−2xsin⁡(x)−x2cos⁡(x)= 4\cos(x) - 4x\sin(x) - 2x\sin(x) - x^2\cos(x)
=4cos⁡(x)−6xsin⁡(x)−x2cos⁡(x)= 4\cos(x) - 6x\sin(x) - x^2\cos(x)
4階微分：
(4cos⁡(x)−6xsin⁡(x)−x2cos⁡(x))′=(4cos⁡(x))′−(6xsin⁡(x))′−(x2cos⁡(x))′(4\cos(x) - 6x\sin(x) - x^2\cos(x))' = (4\cos(x))' - (6x\sin(x))' - (x^2\cos(x))'
=−4sin⁡(x)−(6sin⁡(x)+6xcos⁡(x))−(2xcos⁡(x)+x2(−sin⁡(x)))= -4\sin(x) - (6\sin(x) + 6x\cos(x)) - (2x\cos(x) + x^2(-\sin(x)))
=−4sin⁡(x)−6sin⁡(x)−6xcos⁡(x)−2xcos⁡(x)+x2sin⁡(x)= -4\sin(x) - 6\sin(x) - 6x\cos(x) - 2x\cos(x) + x^2\sin(x)
=−10sin⁡(x)−8xcos⁡(x)+x2sin⁡(x)= -10\sin(x) - 8x\cos(x) + x^2\sin(x)
=(x2−10)sin⁡(x)−8xcos⁡(x)= (x^2-10)\sin(x) - 8x\cos(x)

3. 最終的な答え

(x2−10)sin⁡(x)−8xcos⁡(x)(x^2-10)\sin(x) - 8x\cos(x)

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