問題は、与えられた関数に対して偏微分を計算し、空欄に当てはまる数値を答える問題です。 (1) $f(x, y) = 9x^2 - 6xy + 4y^2$ の偏微分 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算し、空欄①～④に当てはまる数値を求めます。 (2) $g(x, y) = x^3 + x^2y + 3xy^2 - 4y^3$ の偏微分 $g_{xy}(x, y)$ を計算し、空欄⑤～⑥に当てはまる数値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数に対して偏微分を計算し、空欄に当てはまる数値を答える問題です。

(1) $f(x, y) = 9x^2 - 6xy + 4y^2$ の偏微分 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算し、空欄①～④に当てはまる数値を求めます。

(2) $g(x, y) = x^3 + x^2y + 3xy^2 - 4y^3$ の偏微分 $g_{xy}(x, y)$ を計算し、空欄⑤～⑥に当てはまる数値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x, y) = 9x^2 - 6xy + 4y^2$

$f_x(x, y)$ は $y$ を定数として $x$ で偏微分します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(9x^2 - 6xy + 4y^2) = 18x - 6y$

したがって、① = 18, ② = -6

$f_y(x, y)$ は $x$ を定数として $y$ で偏微分します。

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(9x^2 - 6xy + 4y^2) = -6x + 8y$

したがって、③ = -6, ④ = 8

(2)

$g(x, y) = x^3 + x^2y + 3xy^2 - 4y^3$

まず、$g_x(x, y)$ を計算します。

$g_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + x^2y + 3xy^2 - 4y^3) = 3x^2 + 2xy + 3y^2$

次に、$g_{xy}(x, y)$ を計算します。これは、$g_x(x, y)$ を $y$ で偏微分することに相当します。

$g_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 + 2xy + 3y^2) = 2x + 6y$

したがって、⑤ = 2, ⑥ = 6

3. 最終的な答え

① = 18

② = -6

③ = -6

④ = 8

⑤ = 2

⑥ = 6