関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の増減と極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の増減と極値を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

1. **定義域の確認:**

$x > 0$ である必要があります。なぜなら、$x$ が負の場合、$x^{\frac{1}{x}}$ は実数として定義されない場合があります。例えば、$x = -1$ であれば $(-1)^{-1} = -1$ですが、$x = -2$ であれば、 $(-2)^{-\frac{1}{2}}$ は虚数になってしまいます。また、$x = 0$ のとき、$0^{\frac{1}{0}}$ は定義されません。

2. **対数微分法:**

$y = x^{\frac{1}{x}}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. **増減の調査:**

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0$

$x^{\frac{1}{x}} > 0$ かつ $x^2 > 0$ なので、$1 - \ln x = 0$ となる $x$ を求めればよいです。

$\ln x = 1$

$x = e$

$x=e$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号が変わるので、増減を調べます。

* $0 < x < e$ のとき、$\ln x < 1$ なので、$\frac{dy}{dx} > 0$。よって、増加します。

* $x > e$ のとき、$\ln x > 1$ なので、$\frac{dy}{dx} < 0$。よって、減少します。

4. **極値の計算:**

$x = e$ で極大値をとり、その値は $y = e^{\frac{1}{e}}$ です。

5. **グラフの概形:**

* $x > 0$ で定義される。

* $x \to 0$ のとき、$y \to 0$。

* $x \to \infty$ のとき、$y \to 1$。

* $x = e$ で極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ をとる。

* $0 < x < e$ で増加し、$x > e$ で減少する。

3. 最終的な答え

- 定義域: $x > 0$

- $\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$

- $0 < x < e$ のとき増加、$x > e$ のとき減少

- $x = e$ で極大値 $y = e^{\frac{1}{e}}$ をとる

- $x \to 0$ のとき、$y \to 0$

- $x \to \infty$ のとき、$y \to 1$