逆正接関数（アークタンジェント）の値を求める問題です。具体的には、$\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ の値を求めます。

1. 問題の内容

逆正接関数（アークタンジェント）の値を求める問題です。具体的には、$\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \theta$ とおきます。

これは、$\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ を求めることを意味します。

タンジェントの値が $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になる角度 $\theta$ を探します。

タンジェント関数は周期 $\pi$ を持つので、解は無数に存在しますが、逆正接関数の定義域は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

正の角度で考えると、$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

タンジェント関数は奇関数なので、$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$ が成り立ちます。

したがって、$\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ が求める答えです。

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{6}$