関数 $y = 3 \sin x \tan x$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 3 \sin x \tan x$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ で書き換えます。

$y = 3 \sin x \tan x = 3 \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \frac{\sin^2 x}{\cos x}$

次に、商の微分法を用います。商の微分法は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ の導関数が $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられるというものです。この問題では、$u(x) = 3 \sin^2 x$ 、$v(x) = \cos x$ とします。

$u'(x)$ を求めます。$u(x) = 3 \sin^2 x = 3 (\sin x)^2$ なので、合成関数の微分法を用いて、

$u'(x) = 3 \cdot 2 (\sin x) \cdot (\sin x)' = 6 \sin x \cos x$

$v'(x)$ を求めます。$v(x) = \cos x$ なので、

$v'(x) = -\sin x$

商の微分法の公式に当てはめると、

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{6 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{6 \sin x \cos^2 x + 3 \sin^3 x}{\cos^2 x}$

分子を因数分解すると、

$y' = \frac{3 \sin x (2 \cos^2 x + \sin^2 x)}{\cos^2 x}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、

$y' = \frac{3 \sin x (2 \cos^2 x + 1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{3 \sin x (\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

$y' = 3 \sin x \left( 1 + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$ と書くこともできます。また、$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ より、$y' = 3 \sin x (2 + \tan^2 x)$とも書けます。

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3 \sin x (\cos^2 x + 1)}{\cos^2 x}$

または

$y' = 3 \sin x \left( 1 + \frac{1}{\cos^2 x} \right)$

または

$y' = 3 \sin x (2 + \tan^2 x)$