与えられた積分 $\int x\sqrt{x^2+4} dx$ を、置換積分法を用いて計算します。ここで、$t = x^2 + 4$ となるように置換します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{x^2+4} dx$ を、置換積分法を用いて計算します。ここで、$t = x^2 + 4$ となるように置換します。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 + 4$ と置換します。このとき、$dt/dx = 2x$ となるので、$dx = dt / (2x)$ となります。

与えられた積分にこれらの情報を代入すると、以下のようになります。

$\int x\sqrt{x^2+4} dx = \int x\sqrt{t} \frac{dt}{2x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt$

次に、$\sqrt{t} = t^{1/2}$ であることを利用して、$\int \sqrt{t} dt = \int t^{1/2} dt$ を計算します。

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし、$n \neq -1$）を用いると、

$\int t^{1/2} dt = \frac{t^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C$

よって、

$\frac{1}{2}\int \sqrt{t} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

最後に、$t = x^2+4$ を代入すると、

$\frac{1}{3} (x^2+4)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} (x^2+4)^{3/2} + C$