$x \to 0$ のとき、以下の問題に答えよ。ここで、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とする。 (1) $x^m o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めよ。 (2) $\frac{1}{1+x} = 1 + ax + bx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。 (3) $\{2 + x + o(x)\}\{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = a + bx + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。 (4) $\frac{(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2))}{1 + x} = a + bx + cx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, c, l$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の問題に答えよ。ここで、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とする。

(1) $x^m o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めよ。

(2) $\frac{1}{1+x} = 1 + ax + bx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。

(3) $\{2 + x + o(x)\}\{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = a + bx + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, l$ を求めよ。

(4) $\frac{(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2))}{1 + x} = a + bx + cx^2 + o(x^l)$ が成り立つような $a, b, c, l$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^m o(x^n) = o(x^l)$ について、左辺は $x^{m+n}$ のオーダーであり、右辺は $x^l$ より高次の項であることを意味する。したがって、$m+n > l$ が成り立つ必要があり、$l$ の最大値は $m+n-1$ である。

(2) $\frac{1}{1+x}$ をマクローリン展開する。

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$

$1 + ax + bx^2 + o(x^l) = 1 - x + x^2 + o(x^l)$ より、$a = -1$, $b = 1$ である。このとき、$o(x^3)$以降の項が無視できるため、$l = 2$ となる。

(3) $\{2 + x + o(x)\}\{1 + 2x + x^2 + o(x^2)\} = 2 + 4x + 2x^2 + x + 2x^2 + x^3 + o(x) = 2 + 5x + 4x^2 + x^3 + o(x) = 2 + 5x + o(x^1)$

$a + bx + o(x^l) = 2 + 5x + o(x^l)$ より、$a = 2$, $b = 5$, $l = 1$ となる。

(4) まず、分子を展開する。

$(1 + 4x + 2x^2 + o(x^2))(1 - 2x + 3x^2 + o(x^2)) = 1 - 2x + 3x^2 + 4x - 8x^2 + 2x^2 + 2x^2 + o(x^2) = 1 + 2x - x^2 + o(x^2)$

したがって、$\frac{1 + 2x - x^2 + o(x^2)}{1 + x} = (1 + 2x - x^2 + o(x^2))(1 - x + x^2 + o(x^2)) = 1 - x + x^2 + 2x - 2x^2 + x^2 - x^2 + o(x^2) = 1 + x - 2x^2 + o(x^2)$

$a + bx + cx^2 + o(x^l) = 1 + x - 2x^2 + o(x^l)$ より、$a = 1$, $b = 1$, $c = -2$, $l = 2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $l = m + n - 1$

(2) $a = -1, b = 1, l = 2$

(3) $a = 2, b = 5, l = 1$

(4) $a = 1, b = 1, c = -2, l = 2$