曲線が媒介変数 $t$ を用いて表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題を解く。具体的には、以下の3つの場合について $\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求める。 (1) $x = t^3 - 1, \quad y = 2t^2$ (2) $x = t^2 + 1, \quad y = t^4 - t^2 + 1$ (3) $x = 2\cos t, \quad y = 5\sin t$

1. 問題の内容

曲線が媒介変数 $t$ を用いて表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す問題を解く。具体的には、以下の3つの場合について $\frac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として求める。

(1) $x = t^3 - 1, \quad y = 2t^2$

(2) $x = t^2 + 1, \quad y = t^4 - t^2 + 1$

(3) $x = 2\cos t, \quad y = 5\sin t$

2. 解き方の手順

媒介変数表示された関数の微分は、次の公式を用いて計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

それぞれの問題について、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算し、上記の公式に代入することで $\frac{dy}{dx}$ を求める。

(1) $x = t^3 - 1, \quad y = 2t^2$ の場合

$\frac{dx}{dt} = 3t^2$

$\frac{dy}{dt} = 4t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4t}{3t^2} = \frac{4}{3t}$

(2) $x = t^2 + 1, \quad y = t^4 - t^2 + 1$ の場合

$\frac{dx}{dt} = 2t$

$\frac{dy}{dt} = 4t^3 - 2t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4t^3 - 2t}{2t} = \frac{2t(2t^2 - 1)}{2t} = 2t^2 - 1$

(3) $x = 2\cos t, \quad y = 5\sin t$ の場合

$\frac{dx}{dt} = -2\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 5\cos t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{5\cos t}{-2\sin t} = -\frac{5}{2}\cot t$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3t}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2t^2 - 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{2}\cot t$