以下の関数の導関数を求めます。 (1) $f(x) = -x^3 - 5x + \frac{2}{x^2}$ (2) $f(x) = 2xe^{-2x}$ (3) $f(x) = \frac{\cos x}{x}$ (4) $f(x) = \log_e \frac{1}{x} \cdot \log_e x^2$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3x}$ (6) $f(x) = \tan ax$

1. 問題の内容

以下の関数の導関数を求めます。

(1) $f(x) = -x^3 - 5x + \frac{2}{x^2}$

(2) $f(x) = 2xe^{-2x}$

(3) $f(x) = \frac{\cos x}{x}$

(4) $f(x) = \log_e \frac{1}{x} \cdot \log_e x^2$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3x}$

(6) $f(x) = \tan ax$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^3 - 5x + \frac{2}{x^2} = -x^3 - 5x + 2x^{-2}$

$f'(x) = -3x^2 - 5 + 2(-2)x^{-3} = -3x^2 - 5 - \frac{4}{x^3}$

(2) $f(x) = 2xe^{-2x}$

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x$, $v = e^{-2x}$ とすると、$u' = 2$, $v' = -2e^{-2x}$ です。

$f'(x) = 2e^{-2x} + 2x(-2e^{-2x}) = 2e^{-2x} - 4xe^{-2x} = 2e^{-2x}(1 - 2x)$

(3) $f(x) = \frac{\cos x}{x}$

商の微分法 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \cos x$, $v = x$ とすると、$u' = -\sin x$, $v' = 1$ です。

$f'(x) = \frac{-\sin x \cdot x - \cos x \cdot 1}{x^2} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$

(4) $f(x) = \log_e \frac{1}{x} \cdot \log_e x^2 = \ln \frac{1}{x} \cdot \ln x^2 = -\ln x \cdot 2\ln x = -2(\ln x)^2$

$f'(x) = -2 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = -\frac{4\ln x}{x}$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 3x} = (2x^2 - 3x)^{\frac{1}{3}}$

$f'(x) = \frac{1}{3}(2x^2 - 3x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (4x - 3) = \frac{4x - 3}{3(2x^2 - 3x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{4x - 3}{3\sqrt[3]{(2x^2 - 3x)^2}}$

(6) $f(x) = \tan ax$

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 ax} \cdot a = \frac{a}{\cos^2 ax} = a\sec^2 ax$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -3x^2 - 5 - \frac{4}{x^3}$

(2) $f'(x) = 2e^{-2x}(1 - 2x)$

(3) $f'(x) = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$

(4) $f'(x) = -\frac{4\ln x}{x}$

(5) $f'(x) = \frac{4x - 3}{3\sqrt[3]{(2x^2 - 3x)^2}}$

(6) $f'(x) = a\sec^2 ax$