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与えられた4つの関数について、微分を計算する問題です。 (1) $y = (x+2)^2 (x+3)^3 (x+4)^4$ (2) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}$ (3) $y = x^{3x}$ $(x > 0)$ (4) $y = x^{\sin x}$ $(x > 0)$

解析学微分対数微分法関数の微分
2025/6/4
はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、微分を計算する問題です。
(1) y=(x+2)2(x+3)3(x+4)4y = (x+2)^2 (x+3)^3 (x+4)^4
(2) y=(x+1)2(x+2)3(x+3)4y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}
(3) y=x3xy = x^{3x} (x>0)(x > 0)
(4) y=xsin⁡xy = x^{\sin x} (x>0)(x > 0)

2. 解き方の手順

(1) 対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとり、微分する。
(2) 対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとり、微分する。
(3) 対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとり、微分する。
(4) 対数微分法を用いる。両辺の自然対数をとり、微分する。
(1) y=(x+2)2(x+3)3(x+4)4y = (x+2)^2 (x+3)^3 (x+4)^4
両辺の自然対数をとると、
ln⁡y=2ln⁡(x+2)+3ln⁡(x+3)+4ln⁡(x+4)\ln y = 2 \ln(x+2) + 3 \ln(x+3) + 4 \ln(x+4)
両辺を xx で微分すると、
1ydydx=2x+2+3x+3+4x+4\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x+4}
dydx=y(2x+2+3x+3+4x+4)\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x+4} \right)
dydx=(x+2)2(x+3)3(x+4)4(2x+2+3x+3+4x+4)\frac{dy}{dx} = (x+2)^2 (x+3)^3 (x+4)^4 \left( \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x+4} \right)
(2) y=(x+1)2(x+2)3(x+3)4y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}
両辺の自然対数をとると、
ln⁡y=2ln⁡(x+1)−3ln⁡(x+2)−4ln⁡(x+3)\ln y = 2 \ln(x+1) - 3 \ln(x+2) - 4 \ln(x+3)
両辺を xx で微分すると、
1ydydx=2x+1−3x+2−4x+3\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3}
dydx=y(2x+1−3x+2−4x+3)\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)
dydx=(x+1)2(x+2)3(x+3)4(2x+1−3x+2−4x+3)\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)
(3) y=x3xy = x^{3x}
両辺の自然対数をとると、
ln⁡y=3xln⁡x\ln y = 3x \ln x
両辺を xx で微分すると、
1ydydx=3ln⁡x+3x⋅1x=3ln⁡x+3=3(ln⁡x+1)\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \ln x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln x + 3 = 3(\ln x + 1)
dydx=y⋅3(ln⁡x+1)\frac{dy}{dx} = y \cdot 3 (\ln x + 1)
dydx=x3x⋅3(ln⁡x+1)=3x3x(ln⁡x+1)\frac{dy}{dx} = x^{3x} \cdot 3 (\ln x + 1) = 3 x^{3x} (\ln x + 1)
(4) y=xsin⁡xy = x^{\sin x}
両辺の自然対数をとると、
ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y = \sin x \ln x
両辺を xx で微分すると、
1ydydx=cos⁡xln⁡x+sin⁡x⋅1x\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}
dydx=y(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)
dydx=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)

3. 最終的な答え

(1) dydx=(x+2)2(x+3)3(x+4)4(2x+2+3x+3+4x+4)\frac{dy}{dx} = (x+2)^2 (x+3)^3 (x+4)^4 \left( \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x+4} \right)
(2) dydx=(x+1)2(x+2)3(x+3)4(2x+1−3x+2−4x+3)\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)
(3) dydx=3x3x(ln⁡x+1)\frac{dy}{dx} = 3 x^{3x} (\ln x + 1)
(4) dydx=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)

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