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問題文は、次の6つの式について、$\theta$ が与えられた範囲で変化するときの式の取りうる値の範囲を求めるものです。 (1) $\sin \theta + 2$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (2) $2 \cos \theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (3) $2 \sin \theta - 1$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (4) $-3 \cos \theta + 1$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (5) $2 \tan \theta + 1$ ($0^\circ \le \theta \le 60^\circ$) (6) $\tan^2 \theta + 1$ ($30^\circ \le \theta < 90^\circ$)

解析学三角関数関数の範囲不等式
2025/6/4

1. 問題の内容

問題文は、次の6つの式について、θ\theta が与えられた範囲で変化するときの式の取りうる値の範囲を求めるものです。
(1) sin⁡θ+2\sin \theta + 2 (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(2) 2cos⁡θ2 \cos \theta (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(3) 2sin⁡θ−12 \sin \theta - 1 (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(4) −3cos⁡θ+1-3 \cos \theta + 1 (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(5) 2tan⁡θ+12 \tan \theta + 1 (0∘≤θ≤60∘0^\circ \le \theta \le 60^\circ)
(6) tan⁡2θ+1\tan^2 \theta + 1 (30∘≤θ<90∘30^\circ \le \theta < 90^\circ)

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ+2\sin \theta + 2
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、0≤sin⁡θ≤10 \le \sin \theta \le 1 である。
したがって、0+2≤sin⁡θ+2≤1+20 + 2 \le \sin \theta + 2 \le 1 + 2 となる。
(2) 2cos⁡θ2 \cos \theta
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、−1≤cos⁡θ≤1-1 \le \cos \theta \le 1 である。
したがって、2(−1)≤2cos⁡θ≤2(1)2(-1) \le 2 \cos \theta \le 2(1) となる。
(3) 2sin⁡θ−12 \sin \theta - 1
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、0≤sin⁡θ≤10 \le \sin \theta \le 1 である。
したがって、2(0)−1≤2sin⁡θ−1≤2(1)−12(0) - 1 \le 2 \sin \theta - 1 \le 2(1) - 1 となる。
(4) −3cos⁡θ+1-3 \cos \theta + 1
0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、−1≤cos⁡θ≤1-1 \le \cos \theta \le 1 である。
−3-3をかけると不等号の向きが変わるので、3≥−3cos⁡θ≥−33 \ge -3 \cos \theta \ge -3、つまり −3≤−3cos⁡θ≤3-3 \le -3 \cos \theta \le 3 となる。
したがって、−3+1≤−3cos⁡θ+1≤3+1-3 + 1 \le -3 \cos \theta + 1 \le 3 + 1 となる。
(5) 2tan⁡θ+12 \tan \theta + 1
0∘≤θ≤60∘0^\circ \le \theta \le 60^\circ のとき、0≤tan⁡θ≤30 \le \tan \theta \le \sqrt{3} である。
したがって、2(0)+1≤2tan⁡θ+1≤2(3)+12(0) + 1 \le 2 \tan \theta + 1 \le 2(\sqrt{3}) + 1 となる。
(6) tan⁡2θ+1\tan^2 \theta + 1
30∘≤θ<90∘30^\circ \le \theta < 90^\circ のとき、13≤tan⁡θ<∞\frac{1}{\sqrt{3}} \le \tan \theta < \infty である。
したがって、13≤tan⁡2θ<∞\frac{1}{3} \le \tan^2 \theta < \infty となる。
したがって、13+1≤tan⁡2θ+1<∞+1\frac{1}{3} + 1 \le \tan^2 \theta + 1 < \infty + 1、つまり 43≤tan⁡2θ+1<∞\frac{4}{3} \le \tan^2 \theta + 1 < \infty となる。

3. 最終的な答え

(1) 2≤sin⁡θ+2≤32 \le \sin \theta + 2 \le 3
(2) −2≤2cos⁡θ≤2-2 \le 2 \cos \theta \le 2
(3) −1≤2sin⁡θ−1≤1-1 \le 2 \sin \theta - 1 \le 1
(4) −2≤−3cos⁡θ+1≤4-2 \le -3 \cos \theta + 1 \le 4
(5) 1≤2tan⁡θ+1≤23+11 \le 2 \tan \theta + 1 \le 2\sqrt{3} + 1
(6) 43≤tan⁡2θ+1<∞\frac{4}{3} \le \tan^2 \theta + 1 < \infty

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