与えられた方程式によって定義される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。具体的には、以下の4つの方程式について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (1) $y^2 = 2x$ (2) $x^2 + y^2 = 5$ (3) $x^2 + 9y^2 = 9$ (4) $xy = 2$

1. 問題の内容

与えられた方程式によって定義される $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。具体的には、以下の4つの方程式について $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(1) $y^2 = 2x$

(2) $x^2 + y^2 = 5$

(3) $x^2 + 9y^2 = 9$

(4) $xy = 2$

2. 解き方の手順

陰関数の微分法を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。各方程式を $x$ で微分し、$y$ の微分を $\frac{dy}{dx}$ として表し、$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

(1) $y^2 = 2x$

両辺を $x$ で微分すると、

$2y\frac{dy}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y} = \frac{1}{y}$

(2) $x^2 + y^2 = 5$

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$2y\frac{dy}{dx} = -2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

(3) $x^2 + 9y^2 = 9$

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + 18y\frac{dy}{dx} = 0$

$18y\frac{dy}{dx} = -2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{18y} = -\frac{x}{9y}$

(4) $xy = 2$

両辺を $x$ で微分すると、積の微分法より

$1\cdot y + x\frac{dy}{dx} = 0$

$x\frac{dy}{dx} = -y$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{9y}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$