関数 $y = (1 + \sin x) \cos x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における増減表を完成させる問題です。表中のアからカに当てはまる値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = (1 + \sin x) \cos x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における増減表を完成させる問題です。表中のアからカに当てはまる値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を微分して $y'$ を求めます。

$y = (1 + \sin x) \cos x = \cos x + \sin x \cos x$

$y' = -\sin x + \cos^2 x - \sin^2 x = -\sin x + \cos 2x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\sin x + \cos 2x = 0$

$-\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0$

$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\sin x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

また、$\sin x = -1$ となる $x$ は $x = \frac{3\pi}{2}$

次に、増減表を完成させます。

$x = 0$ のとき $y = (1 + \sin 0) \cos 0 = 1$

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき $y = (1 + \sin \frac{\pi}{6}) \cos \frac{\pi}{6} = (1 + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{5\pi}{6}$ のとき $y = (1 + \sin \frac{5\pi}{6}) \cos \frac{5\pi}{6} = (1 + \frac{1}{2}) (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき $y = (1 + \sin \frac{3\pi}{2}) \cos \frac{3\pi}{2} = (1 - 1) \cdot 0 = 0$

$x = 2\pi$ のとき $y = (1 + \sin 2\pi) \cos 2\pi = (1 + 0) \cdot 1 = 1$

$y'$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{\pi}{6}$ のとき、例えば $x = \frac{\pi}{12}$ とすると、$\sin x = \sin \frac{\pi}{12} > 0$, $\cos 2x = \cos \frac{\pi}{6} > 0$ なので、$y' > 0$

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ のとき、例えば $x = \frac{\pi}{2}$ とすると、$\sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\cos 2x = \cos \pi = -1$ なので、$y' < 0$

$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$ のとき、例えば $x = \pi$ とすると、$\sin x = \sin \pi = 0$, $\cos 2x = \cos 2\pi = 1$ なので、$y' > 0$

$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ のとき、例えば $x = \frac{7\pi}{4}$ とすると、$\sin x = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 2x = \cos \frac{7\pi}{2} = 0$ なので、$y' > 0$ (実際には$y'<0$となる)

$x=\frac{11\pi}{6}$とすると、$\sin x = -\frac{1}{2}$, $\cos 2x = \frac{1}{2}$ なので、$y' = -\sin x + \cos 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 > 0$

したがって、

ア = $\frac{\pi}{6}$, イ = $\frac{5\pi}{6}$, ウ = $\frac{3\pi}{2}$, エ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$, オ = $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$, カ = 0

3. 最終的な答え

ア: $\frac{\pi}{6}$

イ: $\frac{5\pi}{6}$

ウ: $\frac{3\pi}{2}$

エ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

オ: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

カ: 0