関数 $f(x) = x^2 \sin(2x)$ の第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を求め、さらに $f^{(5)}(0)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \sin(2x)$ の第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を求め、さらに $f^{(5)}(0)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 \sin(2x)$ の導関数を繰り返し計算し、第5次導関数 $f^{(5)}(x)$ を求めます。積の微分公式と三角関数の微分公式を利用します。

その後、$f^{(5)}(x)$ に $x=0$ を代入して $f^{(5)}(0)$ の値を求めます。

$f(x) = x^2 \sin(2x)$

$f'(x) = 2x\sin(2x) + 2x^2\cos(2x)$

$f''(x) = 2\sin(2x) + 4x\cos(2x) + 4x\cos(2x) - 4x^2\sin(2x) = 2\sin(2x) + 8x\cos(2x) - 4x^2\sin(2x)$

$f'''(x) = 4\cos(2x) + 8\cos(2x) - 16x\sin(2x) - 8x\sin(2x) - 8x^2\cos(2x) = 12\cos(2x) - 24x\sin(2x) - 8x^2\cos(2x)$

$f^{(4)}(x) = -24\sin(2x) - 24\sin(2x) - 48x\cos(2x) - 16x\cos(2x) + 16x^2\sin(2x) = -48\sin(2x) - 64x\cos(2x) + 16x^2\sin(2x)$

$f^{(5)}(x) = -96\cos(2x) - 64\cos(2x) + 128x\sin(2x) + 32x\sin(2x) + 32x^2\cos(2x) = -160\cos(2x) + 160x\sin(2x) + 32x^2\cos(2x)$

よって、$f^{(5)}(x) = (32x^2 - 160)\cos(2x) + 160x\sin(2x)$ となります。

次に、$x=0$ を代入すると、

$f^{(5)}(0) = (32(0)^2 - 160)\cos(0) + 160(0)\sin(0) = -160(1) + 0 = -160$

3. 最終的な答え

$f^{(5)}(x) = (32x^2 - 160)\cos 2x + 160x \sin 2x$

$f^{(5)}(0) = -160$