$x \leq 0$ において、不等式 $-2x^3 - 36x + k \geq 15x^2$ が常に成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \leq 0$ において、不等式 $-2x^3 - 36x + k \geq 15x^2$ が常に成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式を変形して、$k$ を左辺に、残りの項を右辺にまとめます。

$k \geq 15x^2 + 2x^3 + 36x$

ここで、$f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x$ とおきます。$x \leq 0$ において、$k \geq f(x)$ が常に成り立つような $k$ の範囲を求めるには、$x \leq 0$ における $f(x)$ の最大値を求めればよいです。

$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 6x^2 + 30x + 36 = 6(x^2 + 5x + 6) = 6(x+2)(x+3)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x = -2, -3$

$x \leq 0$ における $f(x)$ の増減表を作成します。

| x | ... | -3 | ... | -2 | ... | 0 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 | |

$x=-3$ のとき、$f(-3) = 2(-3)^3 + 15(-3)^2 + 36(-3) = -54 + 135 - 108 = -27$

$x=-2$ のとき、$f(-2) = 2(-2)^3 + 15(-2)^2 + 36(-2) = -16 + 60 - 72 = -28$

$x=0$ のとき、$f(0) = 0$

$x \leq 0$ における $f(x)$ の最大値は $f(0) = 0$ です。

したがって、$k \geq 0$ であれば、常に $k \geq f(x)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$k \geq 0$