関数 $y = \cos 2x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ただし、$n \ge 1$ とします。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。ただし、$n \ge 1$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos 2x$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

$y' = -2\sin 2x$

$y'' = -4\cos 2x = -2^2 \cos 2x$

$y''' = 8\sin 2x = 2^3 \sin 2x$

$y^{(4)} = 16\cos 2x = 2^4 \cos 2x$

$y^{(5)} = -32\sin 2x = -2^5 \sin 2x$

ここで、$\cos(x+\frac{\pi}{2}) = -\sin x$、$\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x$ を用いると、

$y' = -2\sin 2x = 2\cos(2x + \frac{\pi}{2})$

$y'' = -4\cos 2x = 4\cos(2x + \pi) = 2^2\cos(2x + 2 \cdot \frac{\pi}{2})$

$y''' = 8\sin 2x = -8\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = 8\cos(2x + \pi + \frac{\pi}{2}) = 8\cos(2x + \frac{3\pi}{2}) = 2^3\cos(2x + 3\cdot \frac{\pi}{2})$

$y^{(4)} = 16\cos 2x = 16\cos(2x + 2\pi) = 2^4\cos(2x + 4\cdot \frac{\pi}{2})$

したがって、$y^{(n)} = 2^n \cos(2x + n \cdot \frac{\pi}{2})$ と推測できます。

数学的帰納法で証明することもできますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2})$