$x \to 0$ のとき、以下の問に答える問題です。ただし、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とします。 (1) $x^m o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めなさい。

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の問に答える問題です。ただし、$a, b, c$ は実数、$l, m, n$ は正の整数とし、$l$ は可能な限り最大の整数とします。

(1) $x^m o(x^n) = o(x^l)$ が成り立つような $l$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $o(x^n)$ は、$x^n$ より高次の無限小を表します。つまり、

$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$

と書けます。

$x^m o(x^n) = o(x^l)$ ということは、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^m o(x^n)}{x^l} = 0$

となるということです。

ここで、仮に$o(x^n)$が$x^n$に非常に近いと考えると、$x^m o(x^n) \approx x^{m+n}$と考えることができます。そうすると、$x^{m+n}= o(x^l)$となるためには、$l<m+n$が成り立てばよいことになります。$l$は可能な限り最大の整数なので、$l = m+n-1$というのは、$o(x^n) = o(x^n)$の場合です。

しかし、$o(x^n)$ は $x^n$ よりも高次の無限小なので、$x^m o(x^n)$ は $x^{m+n}$ よりも高次の無限小になります。

したがって、$x^m o(x^n) = o(x^{m+n})$ となり、$l = m+n$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $l = m+n$