以下の数列の極限を求めます。 (1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ (2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$ (3) $a_n = \left(\frac{1-n}{3-n}\right)^{-n}$

1. 問題の内容

以下の数列の極限を求めます。

(1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$

(2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$

(3) $a_n = \left(\frac{1-n}{3-n}\right)^{-n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$

これは、自然対数の底 $e$ の定義に関連する極限です。

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x$ を利用します。

この場合、$x = -1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2) $a_n = \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$

$a_n = \left(\frac{n+1+2}{n+1}\right)^n = \left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^n$

ここで、$m = n+1$ と置くと、$n = m-1$ であり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

$a_n = \left(1 + \frac{2}{m}\right)^{m-1} = \frac{\left(1 + \frac{2}{m}\right)^m}{1 + \frac{2}{m}}$

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{2}{m}\right)^m = e^2$ であり、$\lim_{m \to \infty} 1 + \frac{2}{m} = 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{e^2}{1} = e^2$

(3) $a_n = \left(\frac{1-n}{3-n}\right)^{-n}$

$a_n = \left(\frac{3-n}{1-n}\right)^n = \left(\frac{n-3}{n-1}\right)^n = \left(\frac{n-1-2}{n-1}\right)^n = \left(1 - \frac{2}{n-1}\right)^n$

ここで、$m = n-1$ と置くと、$n = m+1$ であり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

$a_n = \left(1 - \frac{2}{m}\right)^{m+1} = \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m \left(1 - \frac{2}{m}\right)$

$\lim_{m \to \infty} \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m = e^{-2}$ であり、$\lim_{m \to \infty} 1 - \frac{2}{m} = 1$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{-2} \cdot 1 = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{e}$

(2) $e^2$

(3) $\frac{1}{e^2}$