与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、(1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2$、(2) $y = \frac{x^2+1}{x}$、(4) $y = \frac{\log x}{x}$、(5) $y = e^x \cos x (0 \le x \le 2\pi)$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求める問題です。ここでは、(1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2$、(2) $y = \frac{x^2+1}{x}$、(4) $y = \frac{\log x}{x}$、(5) $y = e^x \cos x (0 \le x \le 2\pi)$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2$ の極値

* まず、$y$ を $x$ で微分します。

$$y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x = 4x(x^2 - 3x - 4) = 4x(x-4)(x+1)$$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。

$4x(x-4)(x+1) = 0$ より、$x = -1, 0, 4$

* $y''$ を計算します。

$$y'' = 12x^2 - 24x - 16$$

* $x=-1, 0, 4$ における $y''$ の符号を調べます。

* $y''(-1) = 12 + 24 - 16 = 20 > 0$ なので、$x=-1$ で極小値 $y(-1) = 1 - 4 + 8 = 5$ をとります。

* $y''(0) = -16 < 0$ なので、$x=0$ で極大値 $y(0) = 0$ をとります。

* $y''(4) = 12(16) - 24(4) - 16 = 192 - 96 - 16 = 80 > 0$ なので、$x=4$ で極小値 $y(4) = 4^4 - 4(4^3) - 8(4^2) = 256 - 256 - 128 = -128$ をとります。

(2) $y = \frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$ の極値

* $y' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{x^2 - 1}{x^2} = 0$ より、$x^2 = 1$。よって、$x = \pm 1$

* $y'' = \frac{2}{x^3}$

* $x = \pm 1$ における $y''$ の符号を調べます。

* $y''(1) = 2 > 0$ なので、$x=1$ で極小値 $y(1) = 1 + 1 = 2$ をとります。

* $y''(-1) = -2 < 0$ なので、$x=-1$ で極大値 $y(-1) = -1 - 1 = -2$ をとります。

(4) $y = \frac{\log x}{x}$ の極値

* $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y'=0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$ より、$1 - \log x = 0$。よって、$\log x = 1$。したがって、$x = e$

* $y'' = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\log x}{x^4} = \frac{-3 + 2\log x}{x^3}$

* $x = e$ における $y''$ の符号を調べます。

$y''(e) = \frac{-3 + 2\log e}{e^3} = \frac{-3 + 2}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$ なので、$x=e$ で極大値 $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ をとります。

(5) $y = e^x \cos x (0 \le x \le 2\pi)$ の極値

* $y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)$

* $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^x (\cos x - \sin x) = 0$ より、$\cos x = \sin x$。よって、$\tan x = 1$。$0 \le x \le 2\pi$ で、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

* $y'' = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -2e^x \sin x$

* $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ における $y''$ の符号を調べます。

* $y''(\frac{\pi}{4}) = -2 e^{\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = -2 e^{\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ なので、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $y(\frac{\pi}{4}) = e^{\frac{\pi}{4}} \cos \frac{\pi}{4} = e^{\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ をとります。

* $y''(\frac{5\pi}{4}) = -2 e^{\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = -2 e^{\frac{5\pi}{4}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) > 0$ なので、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $y(\frac{5\pi}{4}) = e^{\frac{5\pi}{4}} \cos \frac{5\pi}{4} = e^{\frac{5\pi}{4}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $x = -1$ で極大値 $5$、 $x = 0$ で極大値 $0$、$x = 4$ で極小値 $-128$

(2) $x = 1$ で極小値 $2$、$x = -1$ で極大値 $-2$

(4) $x = e$ で極大値 $\frac{1}{e}$

(5) $x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $e^{\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$、$x = \frac{5\pi}{4}$ で極小値 $-e^{\frac{5\pi}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$