$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos^2 \theta - 4$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos^2 \theta - 4$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を三角関数の2倍角の公式を用いて整理する。

$y = \sqrt{3} (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta - 4$

$y = - \sqrt{3} \cos 2\theta + \sin 2\theta - 4$

次に、三角関数の合成を行う。

$y = 2 \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) - 4$

ここで、$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le 2\theta < \pi$ であるから、$-\frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$ である。

したがって、$- \frac{\sqrt{3}}{2} \le \sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) \le 1$

最大値は、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$ のときで、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より $2\theta = \frac{5\pi}{6}$ なので、$\theta = \frac{5\pi}{12}$。

このとき、$y = 2(1) - 4 = -2$

最小値は、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のときで、

$2\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ より $2\theta = 0$ なので、$\theta = 0$。

このとき、$y = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 = -\sqrt{3} - 4$

3. 最終的な答え

最大値: $-2$ ($\theta = \frac{5\pi}{12}$ のとき)

最小値: $-\sqrt{3} - 4$ ($\theta = 0$ のとき)