(1) 極限値 $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ を求める。 (2) 微分の定義式に従って、関数 $f(x) = 2x^2 - x$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 極限値 $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ を求める。

(2) 微分の定義式に従って、関数 $f(x) = 2x^2 - x$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極限値を求める。

$x^2 - 9$ を因数分解すると $(x-3)(x+3)$ となる。したがって、

$$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$$

$x \to -3$ のとき、$x \ne -3$ であるから、$x+3$ で約分できる。

$$\lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (x - 3)$$

$x - 3$ は $x$ に関する連続関数なので、極限値は $x = -3$ を代入して求められる。

$$\lim_{x \to -3} (x - 3) = -3 - 3 = -6$$

(2) 微分の定義式に従って導関数を求める。

微分の定義式は

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

与えられた関数は $f(x) = 2x^2 - x$ であるから、

$f(x + h) = 2(x + h)^2 - (x + h) = 2(x^2 + 2xh + h^2) - x - h = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h$

したがって、

$$f(x + h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h) - (2x^2 - x) = 4xh + 2h^2 - h$$

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{4xh + 2h^2 - h}{h} = 4x + 2h - 1$$

よって、

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (4x + 2h - 1) = 4x - 1$$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = -6$

(2) $f'(x) = 4x - 1$