与えられた関数 $f(x, y)$ の2階までの偏導関数を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^4 + xy^3$ (2) $f(x, y) = e^x \cos(y)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ の2階までの偏導関数を求める問題です。

(1) $f(x, y) = x^4 + xy^3$

(2) $f(x, y) = e^x \cos(y)$

2. 解き方の手順

偏導関数は、ある変数で微分するときに、他の変数を定数とみなして計算します。2階偏導関数は、1階偏導関数をさらに偏微分することで求めます。具体的には、以下の4つの偏導関数を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

(1) $f(x, y) = x^4 + xy^3$

* 1階偏導関数:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 + y^3$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3xy^2$

* 2階偏導関数:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4x^3 + y^3) = 12x^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2) = 6xy$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2) = 3y^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (4x^3 + y^3) = 3y^2$

(2) $f(x, y) = e^x \cos(y)$

* 1階偏導関数:

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^x \cos(y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -e^x \sin(y)$

* 2階偏導関数:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \cos(y)) = e^x \cos(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (-e^x \sin(y)) = -e^x \cos(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (-e^x \sin(y)) = -e^x \sin(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x \cos(y)) = -e^x \sin(y)$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6xy$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3y^2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 3y^2$

(2)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = e^x \cos(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -e^x \cos(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -e^x \sin(y)$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -e^x \sin(y)$