はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた8つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \sqrt{(2x+3)^3} dx$

(2) $\int x(3x+2)^3 dx$

(3) $\int \frac{4x^2-2}{(2x-1)^2} dx$

(4) $\int 4x\sqrt{x^2+3} dx$

(5) $\int \tan x dx$

(6) $\int \sin^3 x \cos^2 x dx$

(7) $\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1+e^{-x}}} dx$

(8) $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx$

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2. 解き方の手順**

(1) $\int \sqrt{(2x+3)^3} dx = \int (2x+3)^{3/2} dx$

置換積分を行います。$u = 2x+3$とおくと、$du = 2 dx$となり、$dx = \frac{1}{2} du$です。

したがって、

$\int u^{3/2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{3/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5/2}}{5/2} + C = \frac{1}{5} u^{5/2} + C = \frac{1}{5}(2x+3)^{5/2} + C$

(2) $\int x(3x+2)^3 dx$

置換積分を行います。$u = 3x+2$とおくと、$x = \frac{u-2}{3}$となり、$du = 3 dx$、$dx = \frac{1}{3} du$です。

$\int \frac{u-2}{3} u^3 \frac{1}{3} du = \frac{1}{9} \int (u^4 - 2u^3) du = \frac{1}{9} (\frac{u^5}{5} - \frac{2u^4}{4}) + C = \frac{1}{9}(\frac{u^5}{5} - \frac{u^4}{2}) + C = \frac{1}{45}(3x+2)^5 - \frac{1}{18}(3x+2)^4 + C$

(3) $\int \frac{4x^2-2}{(2x-1)^2} dx = \int \frac{4x^2-2}{4x^2 - 4x + 1} dx$

まず、分子を分母で割ります。

$4x^2 - 2 = (4x^2 - 4x + 1) + (4x - 3)$なので、$\frac{4x^2 - 2}{4x^2 - 4x + 1} = 1 + \frac{4x - 3}{(2x-1)^2}$です。

$\int (1 + \frac{4x - 3}{(2x-1)^2}) dx = \int 1 dx + \int \frac{4x - 3}{(2x-1)^2} dx = x + \int \frac{4x - 2 - 1}{(2x-1)^2} dx = x + \int \frac{2(2x - 1) - 1}{(2x-1)^2} dx = x + \int (\frac{2}{2x-1} - \frac{1}{(2x-1)^2}) dx = x + \int \frac{2}{2x-1} dx - \int \frac{1}{(2x-1)^2} dx = x + \ln|2x-1| + \frac{1}{2(2x-1)} + C$

(4) $\int 4x\sqrt{x^2+3} dx$

置換積分を行います。$u = x^2+3$とおくと、$du = 2x dx$となり、$2du = 4x dx$です。

$\int 2\sqrt{u} du = 2 \int u^{1/2} du = 2 \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{4}{3} u^{3/2} + C = \frac{4}{3}(x^2+3)^{3/2} + C$

(5) $\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

置換積分を行います。$u = \cos x$とおくと、$du = -\sin x dx$となり、$-du = \sin x dx$です。

$\int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$

(6) $\int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin x (1-\cos^2 x) \cos^2 x dx = \int \sin x (\cos^2 x - \cos^4 x) dx$

置換積分を行います。$u = \cos x$とおくと、$du = -\sin x dx$となり、$-du = \sin x dx$です。

$\int (-u^2 + u^4) du = -\int u^2 du + \int u^4 du = -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$

(7) $\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1+e^{-x}}} dx$

置換積分を行います。$u = 1 + e^{-x}$とおくと、$du = -e^{-x} dx$となり、$-du = e^{-x} dx$です。

$\int \frac{-du}{\sqrt{u}} = -\int u^{-1/2} du = - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{1+e^{-x}} + C$

(8) $\int \frac{1}{x(\log x)^2} dx$

置換積分を行います。$u = \log x$とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$です。

$\int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\log x} + C$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{1}{5}(2x+3)^{5/2} + C$

(2) $\frac{1}{45}(3x+2)^5 - \frac{1}{18}(3x+2)^4 + C$

(3) $x + \ln|2x-1| + \frac{1}{2(2x-1)} + C$

(4) $\frac{4}{3}(x^2+3)^{3/2} + C$

(5) $\ln|\sec x| + C$

(6) $-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$

(7) $-2\sqrt{1+e^{-x}} + C$

(8) $-\frac{1}{\log x} + C$